RELATIONS ENTRE LES FORCES, RTC

Divisant membre à membre l’équation précédente (a) par cette dernière, on a

F MJ

Ce qui montre que deux forces quelconques F et f sont entre elles comme les produits des masses M et ra par les accélérations J et j.

Lorsque J =j, la proportion précédente devient

F __ M ni

Ainsi lorsque les forces communiquent la meme accélération de vitesse aux mobiles , elles sont entre elles comme les masses.

Quand M tss m, on a

Ce qui avait déjà été établi au n“ 1827.

Dans le cas ou les deux forces sont égales, de la proportion (b) on conclut :

Ce qui montre que les accélérations sont en raison inverse des

masses.

153(5. Quand les mobiles partent du repos, les vitesses acquises après le môme temps étant proportionnelles aux accélérations (1328) , remplaçant le rapport des accélérations par celui des vitesses dans les proportions (b), (b"), ( b '"), elles deviennent respectivement :

F MV F V m V

/ — rnv’ f ~ v ’ M v v

Itésultats qui s’énoncent comme ceux du n" précédent , en remplaçant les accélérations par les vitesses.

Cette dernière proportion et celle {b'") montrent que, selon que ln masse du mobile est plus grande, la vitesse que lui communique une môme force constante dans un temps donné est plus petite ; ce qui fait voir que la signification du mot masse en mécanique est la même que celle qu’on lui attribue dans le langage vulgaire; on dit en effet que la masse d’un corps est plus ou moins grande, que ce corps est plus ou moins massif, selon que pour le soulever ou le faire mouvoir on est obligé de produire un effort plus ou moins grand; mais ce qu’il y avait de vague dans cette définition a disparu, et la masse est une quantité qui peut être soumise au calcul, c’est-à-dire évaluée en nombre (1332).

1557. Dans un môme lieu du globe ou dans tous les lieux où la va-

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

leur de g est la même , les poids étant proportionnels aux masses (1333), on peut remplacer le rapport des masses par celui des poids dans les proportions (b), (b') et (b") du n" 1335, qui deviennent respectivement

F PJ F P p J

/ ~ PJ' f~v' P ~f

Résultats qui s’énoncent comme ceux du n’ 1335 en remplaçant les masses par les poids.

1538. La valeur de g ne variant pas sensiblement d’un lieu à un autre, il en résulte qu'en général les formules précédentes peuvent être appliquées sans tenir compte de cette variation (1331).

IMPULSION d’une FORCE. QUANTITÉ DE MOUVEMENT.

1339. L'impulsion d’une force est le produit de son intensité par la durée de son action. Ainsi une force de 12‘ agissant sur un mobile pendant 8", produit une impulsion représentée par 12 x 8 = 96.

1340. Le produit mv de la masse m d’un mobile par la vitesse c qu’il possède prend le nom de quantité de mouvement. Le poids d’un corps

étant 50‘, d’où il résulte que sa masse est(1332) ^ xP=0,102x50=5,10,

et la vitesse qu’il possède étant de 30* , sa quantité de mouvement est représentée par

mv =e 5,10 x 30 = 153.

1341. Égalité entre f impulsion dune force et la quantité de mouvement du point matériel sollicité (1321). Lorsque le mouvement est uniformément accéléré, on a (1310), en remarquant que l'accélération

d’où l’on tire

Ft = mv — mv.. (a)

F t est l’impulsion ; elle a le signe de F.

mv. et mv sont respectivement les quantités de mouvement que possède le mobile au commencement et à la fin du temps; elles prennent les signes de tf et de r.

La formule («) fait voir que l'impulsion est toujours égale à la différence des quantités de mouvement, et qu'elle a le même signe que cette différence. Ce que l’on peut énoncer en disant que l'impulsion est toujours égale au gain ou à la perte de quantité de mouvement.

Considérant toujours la vitesse initiale r„ comme positive, il y aura

TRAVAIL D'USB FORCE.

gain lorsque la force F sera positive, c’est-à-dire lorsqu’elle agira dans le sens de »-, et perte lorsqu’elle sera négative.

Si la force F, au lieu de restor constante , prenait successivement les valeurs F, pendant le premier instant 9, , F, pendant l’instant suivant 9, F„ pendant l’instant 9„ ; pour les instants successifs on

aurait

F, j, — me, — tou. ,

F,0, = mv, — mu, ,

• F,9„ = mv — mv ,

et pour le temps total, on aurait, en ajoutant membre à membre toutes ces égalités et en supprimant les quantités qui se détruisent ,

F,0, + F,9, + + FA = mv — mv., (b)

formule analogue à celle (a).

Lorsque ». = 0 , c’est-à-dire quand le corps part du repos , les formules (a) et (6) deviennent

Ff = mv et F,0, + F,0, FA=

Ce qui fait voir encore plus simplement que P impulsion d'une force est égale à la quantité de mouvement que. cette force communique, au mobile qu'elle sollicite pendant la durée île son impulsion.

Trois quelconques des quatre quantités F, t, m, v étant connues, l’équation Fl = mv donne la quatrième.

1" exemple. Trouver la force F capable de réduire au repos en 5" un mobile tout à fait libre, dont le poids est 50k et la vitesse 15“ par seconde.

Substituant ces nombres dans la formule, elle devient

F x 5= 0,102 x 50 x 15 , d’où F -- 0,102 x 5° — — 15*. 30.

2* exemple Trouver le temps que mettra une force de 15k,30 pour réduire au repos un mobile du poids de 50‘ anijné dune vitesse de 15“ par seconde.

Ces nombres , substitués dans la formule , donnent

15,30 x / = 0,102 x 50 x 15, d’où

0,102 x 50 x 15 Ï5ÿM