ASS
couru suivant la verticale. C’est , du reste, ce qui devait être d’après la définition que nous avons donnée du travail (1342), et ce que l’on peut appliquer à une force quelconque constante en grandeur et en direction ; le travail dépend du chemin parcouru parallèlement à la direction de la force, c’est-à-dire de la projection du chemin réellement parcouru , sans nullement dépendre de ce dernier.
1344. Si la force restait constante en intensité, niais variait à chaque instant de direction, on obtiendrait le travail produit pendant chaque élément du parcours droit ou courbe, en multipliant la force par la projection de l'élément sur la direction correspondante de la force, et la somme de tous les travaux élémentaires serait le travail total. Le résultat obtenu serait d’autant plus exact que l’espace total parcouru aurait été divisé en parties plus petites.
Si la force, conservant ou non la même direction, changeait de grandeur, comme dans le cas précédent , le travail correspondant à un élément quelconque du parcours serait encore l’intensité de la force à l’instant considéré, multipliée par la projection de l’élément parcouru sur la direction de la force au même instant, et le travail total serait également la somme de tous les travaux élémentaires. On obtiendrait le résultat avec d’autant plus d’exactitude que l’on aurait divisé le parcours en un plus grand nombre d’éléments.
Prenant sur une droite AB, A a' égal à la projection du premier élément parcouru sur la direction de la force, et élevant l’ordonnée y „ égale à l'intensité correspondante de la force ; puis a'a" égal à la projection du deuxième élément parcouru sur la direction de la force, et élevant l’ordonnée y, égale à l’intensité correspondante de la force ; et ainsi de suite, l’aire du trapèze ha'd'D représente le travail produit pendant le parcours du premier élément; celle de a'a"d"d', celui produit pendant le parcours du deuxième élément, et ainsi de suite; de sorte que l’aire totale de la courbe représente le travail produit pendant tout le parcours, et on peut le calculer à l'aide des formules des n”’ 1177 à 1179; mais en se rappelant que la formule de Simpson et celle de M . Poncelet exigent que les intervalles des ordonnées soient égaux et en nombre pair. Si le tracé de la courbe n’avait pas conduit à cette condition, il faudrait diviser AB en un nombre pair de parties égales, puis déterminer les ordonnées correspondantes par le calcul, si cela était possible, ou les prendre sur l’épure, qu’il y a lieu alors de faire avec le plus grand soin.
Fig. 334.
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SEPTIÈME PARTIE. — MÈCAIIQI'K.
PORCE VIVE.
1343. La moitié du produit de la masse m du mobile par le
carré «* de la vitesse qu’il possède prend le nom de force rite, appelée puissance vive par quelques auteurs.
1340. Dans le mouvement uniformément accéléré on à (1310), en
faisant j=~ (1334),
et E=E„ + t-„< + JJ<*.
éliminons I entre ces deux équations, ce que l’on fait facilement en opérant comme il suit :
Ou élève au carré les deux membres de la première équation, ce qui donne
«* — ».* + 2 — rj + P m ni*
ou
On multiplie les deux membres de la seconde par — après avoir fait passer E„ dans le premier membre, ce qui fournit
(E-e.I-sIm+E.c.
Les équations (1) èt (2) ayant môme second membre, les premiers donnent
d’où l’on tire, en multipliant les deux membres par -,
F (E — E.) = ^ mvy — ^ mvf. (A)
E— E„ étant le chemin parcouru pendant l’action de la force F,
F(E — E„) est le travail produit par F pendant cette même durée d'action (1343),
-m»,’ étant la force vive au commencement de l’action de la force F, et ^nr1 la force vive à la fin de cette action, les quantités
FORCE VIVK.
| mvf et *mr’ étant toujours positives, l'équation (A) fait voir que la
quantité de travail produite par une force agissant sur un point matériel (1321) est toujours algébriquement égale à la différence obtenue en retranchant la force vive avant l’action de la force, de la force vive après l’action; ainsi, considérant comme gain de force vive une différence positive, et comme perte une différence négative, on peut énoncer le principe général des forces vives :
te travail produit par une force agissant sur un point matériel libre est égal au gain ou à la perle de force vive du mobile pendant l'action de la force.
L’expression du travail en fonction de la force vive est d’un usage très-fréquent en mécanique.
1347. Supposons que la force, au lieude rester constante, varie d'intervalle en intervalle.
Appelant e, , et, e„ l’espace parcouru pendant que les valeurs de la force sont respectivement F,, F,, F,,... Fn, ». étant la vitesse Initiale, et v,, v„ v,,... v les vitesses après le parcours des espaces respectifs e,, et, et,... e», on a :
Pour le parcours de e,, F,e, = Kn*®i —^mvo 1
id. de e„ — jOTC,’;
id. de e, , F,e, z=-m — ^ me,* :
id. de en, F„e. = 2 mv* — 2 nwV, •
Ajoutant membre à membre toutes ces équations, on a encore, pour tout le parcours, en supprimant les quantités qui se détruisent, le travail total
T- F,e,+ F,e,+ F,es + ... + F.e,— 2 me* - 2 »»-,*.
Si la force, au lieu de varier d'intervalle en intervalle, variait d une manière continue, on pourrait prendre les espaces e,, ce.. e„ assez petits pour que l’on pût supposer la force constante pendant leur parcours, et la formule précédente serait encore applicable.
1548. Dans le cas où r„ = 0 et E„=0, c’est-à-dire quand le corps part du repos et que les espaces sont comptés à partir du point de départ, la formule (A) (13Û6) devient
FE=|mr*. (B)
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
Remplaçant m par - (1332), on a
