CENTRE DES FORCES PARALLÈLES. MOMENT DE POSITION D’UNE FORCE
r AB B6' Q — AE ~ Ee' *
d’où rxEe’ = Qx W. (1 )
Remarquant que l’on a r=P + Q et e'e — ka = b'b, on peut poser rxe'e = PxAa+OxW, (2)
Ajoutant les équations (1) et (2) , on a
r (Ee'+ e'e) = P x Aa + Q (B6'+ b'b)
ou
r x Ee = P x Aa -f Q x B6.
Ce qu’il fallait démontrer.
Considérant les deux forces —S et r, dont la résultante est r' (1391) , on a encore
r'xF/—rx Ee — SxCc = PxAa + QxB6 — SxCc;
car, menant Cf parallèle à cf, on a
r' CE Ee"
- r CF ~ F/"
d’où r'x F/' = r xEe". (3)
Remarquant que l’on a r'— r— S et ff=e"e — Cc, on peut poser
Ÿxf’f—r xe"e — Sx Ce. (û)
Ajoutant les équations (3) et (4) , on a
r ' (F/ +ff) = r (Ee"+ e"e) — S x Ce
ou
r'xF/=rxEe — SxCc = Px Aa + Qx Bé — Sx Ce.
Ce qu’il fallait démontrer.
Combinant r' avec — T, on aurait la résultante R (1391), et on arriverait de même à
R x Gj = Px Aa + Q + B6 — SxCc+TxDd.
Ce qui fait bien voir que le principe est général pour un nombre quelconque de forces.
1400. Déterminer le centre des forces parallèles en fonction des moments de position des forces.
1° La position d’un point est toujours fixée quand on connaît ses distances à trois plans rectangulaires (960,'. Soient alors P, P', P"... les
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
forces parallèles données; x, y, 2 ; x1, y', r*,... les coordonnées respectives de leurs points d’application par rapport aux plans yz, xs et xy.
Il s’agit de déterminer, par rapport aux mêmes plans, les coordonnées X, Y et Z du point d’application de la résultante R de ces forces. D’abord on a algébriquement (1388, 1391)
Cette équation fournit , d’après les valeurs et les signes des forces P, P', P",. .. la valeur de R , ainsi que son signe ou le sens dans lequel elle agit.
On a respectivement pour les trois plans coordonnés (iû05)
RX = Px + P'x'+ P"x" + ...
RY = Py + P’y'+P"y"+...
RZ = Pr + P'2'+P"2"+...
d’où l’on en tire
„ Px + PV-f- P"x"+...
rv+py+py+...
11 est évident que dans ces équations les valeurs et les signes des premiers membres dépendent des valeurs et des signes des différentes quantités qui entrent dans les seconds membres.
Ainsi l’équation (1) donne la valeur et le sens de la résultante, et les trois dernières fournissent son point d’application.
2° Si tous les points d’application des forces sont situés dans un même plan, en prenant ce plan pour un des plans coordonnés, celui xy par exemple , on a encore
mais comme 2=0, z'= 0, z"=o...,
les équations (ù) et (7) donnent RZ = 0 et Z = 0, ce qui signifie que le centre des forces parallèles est aussi dans le même plan xy.
Les équations (6) et (6) restent les mêmes, et elles donnent les valeurs de X et Y, qui servent à fixer la position du centre des forces parallèles dans le plan xy.
Les coordonnées X et Y, x et y, x' et y'... étant, dans ce cas, des coordonnées prises par rapport aux axes des x et des y, on voit qu’il est inutile d’avoir . recours à trois plans rectangulaires; deux axes
rectangulaires, tracés dans le plan des points d'application des forces , suffisent pour fixer la position du centre des forces parallèles.
Les équations (2) et (3) font voir que les points d’application étant dans un même plan avec une droite , le moment de position de la résultante par rapport à cette droite est égal à la somme des moments de position des composantes.
3“ Tous les points d'application des forces étant situés sur une même droite, en prenant cette droite pour axe des x , on a encore
etcomme 2 = 0, z'= 0... ; y = 0, y'= 0... ;
il s’ensuit que les équations (3), (ù), (6) et (7) donnent respectivement RT = 0, RZ = 0 , Y = 0, Z = 0.
L’équation (5) reste la même, et elle donne la valeur de X pour fixer sur l’axe des x la position du centre des forces parallèles. On voit que dans ce cas , pour déterminer ce centre, on n’a besoin d’avoir recours qu'à une droite joignant tous les points d’application des forces.
L’équation (2) fait voir que le moment de position de la résultante est dans ce cas égal à la somme des moments de position de toutes les forces par rapport à un point quelconque de la droite qui joint les
Pour le cas d'un couple, on a R = P — Q = 0,
et en prenant les moments de position par rapport à un point quelconque O, on a
RX = PxOa — QxOfc = Pxa6.
Ce qui fait voir que le moment de position d'un couple est constant , et égal au produit de l'une des forces par la distance des points d'application des forces.
ÉQUILIBRE DE QUELQUES SYSTÈMES ASSUJETTIS A SE MOUVOIR DANS DES CONDITIONS DONNÉES.
1407. La perpendiculaire abaissée d’un point sur la direction d’une force est le bras de levier d’action ou simplement le bras de levier de cette force par rapport à ce point.
Ce point est le centre des moments d action. Le moment d action, ou simplement le moment de la force par rapport & ce centre , est le produit de cette force par son bras de levier (140/i).
1408. Le bras de levier d’une force par rapport à une droite est la perpendiculaire commune à ia droite et à la direction de la force.
points d’application.
480 SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
Cette droite prend le nom d’aze de# moments d'action.
Le moment d'action, ou simplement le moment de la force par rapport à cet axe, est le produit de cette force par son bras de levier. Cette définition suppose la force située dans un plan normal à l’axe; s’il n’en était pas ainsi , son moment serait le produit de son bras de levier par la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l’axe. Cette projection est la composante que l’on obtient en décomposant la force en deux autres, dirigées l’une parallèlement à l’axe et l’autre dans le plan normal à l’axe (141 8’- Cette composante a le même moment que la force, et en général que toutes les forces, lesquelles, décomposées comme il vient d’être indiqué , donnent la même composante normale.
1401). Équilibre d'un corps solide assujetti à se mouvoir autour dun point fixe.
Quel que soit le nombre des forces qui sollicitent le corps, on peut les remplacer par deux autres, dont l’une passe par le point fixe (1399), et qui est détruite par la fixité de ce point, et en une autre, qui fera nécessairement osciller le corps si elle n’est pas nulle , ou si elle ne passe pas elle-même par le point fixe , cas où elle se combine avec la première force pour n’en faire qu’une qui est la résultante de toutes les forces données. Ainsi , pour qu'il y ait équilibre , la résultante de toutes les forces qui sollicitent le corps doit être nulle, ou passer par le point fixe.
1440. Lorsque toutes les forces qui sollicitent le corps sont situées dans un même plan, il ne peut y avoir mouvement autour du point fixe que dans ce plan. Un tel système constitue un levier, qui n’est ordinairement, dans la pratique, qu'une tige rigide mobile autour d’un petit axe, qui lui est perpendiculaire et que l’on suppose réduit au point unique où il rencontre le plan du mouvement Un levier est sollicité par des forces qui tendent les unes à produire l’oscillation , et les autres à s’y opposer en agissant en sens contraire. Les premières de ces forces sont les puissances , et les secondes les résistances.
44H. Équilibre du levier. Les
FiS. 36*.
deux forces P, Q et le point O sont dans un même plan , et la résultante doit passer par le point O (1386). Cette résultante passant aussi par le point de concours O’, la droite O'O est sa direction , et abaissant du point 0 les perpendiculaires Oa , 06 sur les directions des forces, on a (1374)
£ = d'où I'xOa=Qx 06. (1)
0 On’
Ainsi le levier étant en équilibre sous l’action de deux forces : 1" cet forces sont dont un même plan avec le point d'appui ; 2* les deux forces tendent à faire tourner le levier en sens contraires ; 3° les forces sont en raison inverse de leurs bras de levier.
P étant la puissance et Q la résistance , l’équation (1) montre que quand il y a équilibre, le moment de la puissance est égal à celui de la résistance.
La réciproque est vraie ; car la résultante étant le lieu géométrique des points pour lesquels la proportion précédente existe, elle passera par le O, et elle sera détruite par la fixité de ce point.
L'équation (1) permet de calculer une des quatre quantités P, Q, On et 06, les trois autres étant données. Pour P= 65kM-, Oa = 2“ et 06 = 1“,10 , on a
Q = Px ï = 65x = 118k.18.
La pression sur le point O est évidemment, abstraction faite du poids du levier, égale à la résultante des deux forces P et Q.
1412. Les conditions précédentes d’équilibre ne changent pas, soit qu’on applique chacune des forces P et Q en un point quelconque de sa direction , soit qu’on lui donne une position quelconque autour du point O, mais de manière qu’elle tende toujours à produire l’oscillation dans le môme sens et que son bras de levier conserve la même valeur.
C’est ce qui fait que pour comparer les intensités qu’ont des forces à faire osciller un solide autour d’un point fixe , il faut toujours supposer ces forces appliquées aux extrémités de leurs bras de levier perpendiculaires , et alors l’intensité d’action d’une force est directement proportionnelle à la grandeur de la force et à celle de son bras de levier, c’est-à-dire au produit de ces grandeurs, produit que , pour cette raison, nous avons appelé moment d'action (1607).
1415. Un levier est dit du premier genre quand le point d’appui est situé entre les points d’application de la puissance et de la résistance (fi g. 366). La balance, les balanciers ordinaires de machines à vapeur, la pince coudée dont on se sert pour soulever par côté les lourds fardeaux en sont des exemples.
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
Fig. 365.
Lorsque le point d’application de la résistance est entre celui de la puissance et le point d’appui (Jig. 365), le levier est du deuxibne genre. La pince droite, la brouette, etc., en sont des exemples.
Enfin, quand le point d’application de la puissance est entre celui de la résistance et le point d’appui [Jig. 366), comme, par exemple , dans la pédale, organe de quelques machines que l'on fait mouvoir avec le pied , le levier est du troisième genre.
Remarque. Comme pour le levier du premier genre (1411), dans ceux du deuxième et du troisième genre, abstraction faite du poids du levier, la charge du point d’appui est égale à la résultante de la puissance et de la résistance.
Fig. 367.
1414. Dans le cas particulier où les forces P et Q sont parallèles entre elles, et que de plus elles agissent sur une même droite ab qui leur est perpendiculaire, les bras de levier Oa et 06 de la figure 364 deviennent les portions du levier droit ab, et les conditions d’équilibre du n* 1411 ne changent pas. On peut du reste arriver à ces conditions en remarquant que le moment de position de la ré-
sultante par rapport au point O est nul et que l’on a (1406)
c’est-à-dire
R x 0 ou 0=PxOa — Q x 06,
P x Oa = Q x 06 ou - =
Fig. 369.
Dans ce cas , la charge du point d’appui est R = P + Q , R=Q — P, r = p — q , selon que le levier est du premier, deuxième ou troisième genre, et il est à remarquer que les moments de position ne sont autre chose que les moments d’action.
14115. Pour te cas où l'on a un nombre quelconque de forces parallèles agissant dans des sens quelconques sur une même droite perpendiculaire à leur direction, par la même raison que dans le cas précédent, pour qu’il y ait équilibre, le point d’appui 0 doit encore se trouver dans le plan des forces, la résultante doit passer
fi
par ce point, et on a également, en ayant égard aux signes des moments,
RxO ou 0= PxOa+FxOa'+F'xOa"— Qx06 — Q'x06' — Q"x06", d’où PxOa + Fx O a' + P"x Oa" = Q x 06 + Q'x 06'+Q"x 06".
Ce qui fait voir que la somme des moments des puissances est encore égale à la somme des moments des résistances.
La réciproque est vraie. En effet , la somme des moments des puissances étant égale à celle des moments des résistances , la somme algébrique de tous ces moments est égale à 0. Le moment de la résultante est donc aussi égal à 0 , ce qui ne peut être qu'autant que cette résultante est nulle, ou que son bras de levier est nul, et, dans l’un et l’autre cas, il y a équilibre.
Toutes les puissances; P, P', P" ont pour résultante une force r = P + P' — P" (1396) appliquée en un point A dont la position est donnée par l’équation (1406)
rxOA = PxOa+ P' x Oa' + P" x Oa".
Équation qui permet de remplacer un nombre quelconque de forces parallèles par leur résultante, ou encore par une force quelconque r, agissant à rextrémité d'un bras de levier
PxOa +FxOa' + F'xOa"
