OA

Si le bras de levier OA' avait été donné , on aurait trouvé la valeur de la force r, , capable de remplacer toutes les forces , par l’équation

P x Oa + F x Oa’ -f F' x Oa" r‘ ” OA ’

Les forces 0 . 0'. 0" ont de même une résultante r' = Q + Q' — 0", appliquée en un point B, dont la position est donnée par l’équation

__ Qx06 + Q'x06'+Q"x06"

ULl — : — .

Fig. 36V.

1416. Enfin si les forces P, F, Q occupent des positions quelconques autour du point fixe O, on peut appliquer chaque force, sans changer son signe , tangentiellement en un point quelconqoe de la circonférence qui a pour rayon son bras de levier (1412) ; par conséquent si les forces P, F, 0 appliquées en A, A', B se font équilibre

-tan SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE.

autour du poin.tO, les forces respectivement égales p, p', q, appliquées en a, a', b de la même droite ab perpendiculaire à leur direction, se feront aussi équilibre. Ces dernières forces donnant (1415)

j)XOtt+p'x Od' = qxOb. (i)

Remplaçant chaque quantité par son égale, on a aussi

PxOA + P'xOA' = QxOB. (2)

Fig. 370.

Ce qui montre que dans ce cas général , lorsqu’il y & équilibre , la somme des moments des puissances est encore égale à la somme des moments des résistances.

La réciproque est vraie; car si l’équation (2) est satisfaite, celle (1) l’est aussi ; il y a alors équilibre entre les forças p, p', q (1415) , et par suite aussi entre celles P, P1, O (1412).

Remarque. Quoique dans ces transports de forces l’équilibre ne soit pas troublé , il est évident que la résultante change de grandeur et de direction, mais que cette direction passe toujours par le point fixe.

1417. Équilibre de la poulie. On peut considérer cette machine comme étant un levier sollicité par deux forces P et Q situées dans un môme plan. Pour l’équilibre, on aura alors (1411)

Pxr=Qxr, d'où P=Q.

Ainsi la puissance est égale à la résistance.

Dans la pratique, la puissance étant obligée de vaincre les diverses résistances passives qui s’opposent au mouvement, il peut y avoir équilibre sans que l’on ait P= Q. Nous reviendrons sur cette circonstance.

1418. Équilibre d'un système qui peut tourner autour d'une droite fie. Un tel système constitue un treuil.

Considérant une force quelconque P d’un tel système, faisons passer par sa direction AP un plan parallèle à l'axe xx’; décomposons, dans ce plan, la force P en deux autres, l’une p' parallèle A l’axe , et l’autre p perpendiculaire à A p1, et qui sera située dans un plan perpendiculaire à xx'. Appelant a l’angle PA p', qui est l’angle que fait AP avec xx' (on sait que l’angle que font deux droites xx? et AP qui ne se rencontrent pas est l’angle que fait l’une quelconque AP des deux droites avec une droite A p', menée par un de ses points parallèlement à l’autre), on a (1372)

Fig. 371.

p'— P ms a et p — Psin a.

La force p' étant parallèle à xx', elle ne tend qu’à faire glisser le système le long de cet axe, et elle est détruite par la seule fixité de cet axe. 11 ne reste que la force p, que l’on peut appliquer au point a, qui tend à produire le mouvement, et que l’on peut substituer à la force P.

Remarquons en passant que la perpendiculaire O'a' commune aux deux droites xx' et AP est égale à la perpendiculaire Oa commune aux directions xx' et A p , ces perpendiculaires étant chacune la distance de xx' au plan parallèle PA p. Cette perpendiculaire est le levier d’actionde la force p, et le produit P*m»xOa=j)xOa est le moment d’action de la force p et aussi de P (1408).

Quel que soit le nombre des forces d’un tel système, chacune d’elles peut être remplacée par sa composante analogue à Vsin a. 11 suffit donc de déterminer les conditions d’équilibre d’un système quelconque de forces agissant dams des plans perpendiculaires à l’axe.

1419. Considérons d'abord le cas où les forces sont situées dans le même plan.

Alors les conditions d’équilibre sont les mômes que si le système était mobile autour du point O; on le démontrerait parla marche suivie au n’ifill. Ainsi on a, pour le cas d’équilibre,

lv PxOo = Qxû6,

c’est-à-dire que le moment de la puissance est égal au moment de la résistance.

Cette relation permet de déterminer l’une des forces ou l’un des bras de levier, lorsque les trois autres quantités sont connues.

1420. L’équation précédente fait voir aussi que, quelle que soit la position des forces autour du point O, l’équilibre n’est pas troublé tant que le bras de levier de chaque force reste constant : ainsi une force quelconque P agissant au point A peut être appliquée au point a, ou tangentiellement en un point quelconque de la circonférence de rayon Oa (1412).

1421. Comme au n" 1416, on démontrerait que, quel que soit le nombre des forces, quand il y a équilibre, la somme des moments des puissances est égale à la somme des moments des résistances; et réciproquement.

1422. La charge de l’axe est encore égale à la résultante des forces du système, puisqu’il est rencontré normalement par cette résultante; et l’axe reposant en deux points de sa longueur, pour avoir la charge de chaque appui, on décompose la résultante en deux composantes appliquées sur ces appuis (1388) , et chacune de ces composantes est la charge de l’appui auquel elle est appliquée.

1 123. Supposons maintenant que les deux forces P et Q ne soient pas

Kig. 37!

492 SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

dans le même plan perpendiculaire à l'axe , mais que leurs directions

Pour qu’il y ait équilibre, la résultante de ces deux forces doit rencontrer l’axe xi', et comme elle doit aussi passer par AB (1388), le point O où ces droites se rencontrent est son point d’application. On a alors (1388)

p : o = OB : OA.

Les deux triangles rectangles semblables OAa et OB4 donnant

OB : OA = Bi : A a.

On a donc (284)

P:Q = B6:Aa, d’où PxAcr=QxB6.

soient parallèles.

Fig. 373.

Ainsi le moment de la puissance est encore égal au moment de la résistance (1419).

On prouverait la réciproque , c’est-à-dirc que quand cette équation a lieu il y a équilibre, en repassant par les mêmes calculs, mais en suivant un ordre inverse.

1424. Pour un nombre quelconque de forces parallèles, en faisant passer par l’axe un plan parallèle à la direction des forces, le moment de la résultante des puissances par rapport & ce plan est égal à la somme des moments des puissances (1405). De même , le moment de la résultante des résistances est égal à la somme des moments de toutes les résistances. Puisqu’il y a équilibre entre les puissances et les résistances, il doit y avoir encore équilibre entre la résultante des puissances et la résultante des résistances; et il résulte (1423) que les moments d’action de ces résultantes sont égaux. Remplaçant ces moments par les sommes de moments qui leur sont respectivement égales, on voit que quand il y a équilibre , la somme des moments des puissances est égale à la somme des moments des résistances.

La réciproque est encore vraie.

1428. Supposons maintenant les deux forces P et Q non parallèles.

Du point a comme centre, avec le bras de levier d’action A a pour rayon , décrivons dans le plan aAP perpendiculaire à l’axe un arc de cercle; menons «A’ parallèle 4 Bft. S’il y a équilibre entre les forces P et O , on ne le troublera pas en appliquant au point A', tangentiellement à l’arc AA', les deux forces égales et contraires p et p', égales chacune 4 P. Les deux forces P et p' se détruisent (1419) ; il y a donc équilibre entre p et Q, et comme ces deux forces sont parallèles, on a

Fig. 374.

lit

7Vp

ÉQUILIBRE DK QUELQUES SYSTÈMES ASSUJETTIS A SE MOUVOIR, ETC. *93 P x Ma = Q x B6 ou PxAa = QxB6.

Ainsi le moment de la puissance est encore égal au moment de la résistance.

La réciproque est encore vraie.

Remarque. Ce qui vient d’être dit fait voir que l’on peut transporter une force quelconque tangentiellement en un point quelconque de la circonférence dont le rayon est son bras de levier d'action.

1426. Pour un nombre quelconque de forces, s’il y a équilibre, on ne le troublera pas en transportant toutes ces forces comme l’indique la remarque précédente, de manière à les rendre toutes parallèles entre elles. Dans cette position, puisqu'il y a équilibre, la somme des moments des puissances est égale à la somme des moments des résistances. Or, comme les forces et les bras de levier n’ont pas changé de valeur, il en résulte que l’égalité des moments existe bien pour des forces quelconques en équilibre agissant dans des plans perpendiculaires à l’axe.

1427. La charge de l’axe est égale à la résultante de toutes les forces ; et cet axe reposant sur deux appuis , en décomposant cette résultante en deux forces appliquées sur ces appuis (1388), chacune de ces composantes est la charge de l'appui correspondant.

On arriverait au même résultat en décomposant chacune des forces en deux autres parallèles, ayant même bras de levier et agissant dans les plans menés aux points d'appui perpendiculairement & l'axe. La résultante de toutes les composantes agissant dans chacun de ces plans serait la charge de l'appui correspondant.

1428. Le treuil et le cabestan sont deux machines qui rentrent dans les systèmes mobiles autour d'un axe; leur condition d'équilibre est donc que le moment de la puissance ou la somme des moments des puissances soit égal au moment de la résistance ou à la somme des moments des résistances. Dans la pratique, il faut considérer dans cet équilibre le frottement comme une résistance; nous reviendrons sur cette circonstance.

1429. Équilibre d'une droite AB pouvant se mouvoir d'une manière quelconque autour de son extrémité B.

Fig. 375. Supposons d’abord toutes les forces appliquées en un a même point C de la droite , et situées dans un même plan ne comprenant pas AB. Il est évident que dans ce

g C cas il n’y aura équilibre qu’autant que la résultante de toutes les forces sera nulle (1409).

Et en menant par le point C , dans le plan des forces, deux axes rectangulaires, on aura pour l’équilibre (1376)

n Pco#a + Q«wb + ...= 0, et P#ma+Q«nb+...= 0.

Si- les forces étant appliquées au même point, elles ne sont pas

SEPTIÈME PARTIE. — SÉCAMQIE.

situées dans un même plan , pour qu’il y ait équilibre il faut que leur résultante soit dirigée suivant AB. Ainsi, pour deux forces, AB sera la direction de la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces (1360); ce qui exige que les deux forces soient dans un même plan avec AB. Les relations des forces sont alors celles du n* 1372 ; de plus on a R=Pcoaa + Q«wb, et Vsin a = Q sin b, a et 6 étant les angles que font les forces AB.

Pour trois forces , la diagonale du parallélipipède ayant pourcôtés les intensités de ces forces, c’est-à-dire la résultante de ces forces, devra encore être dirigée suivant AB

Quel que soit le nombre des forces , la résultante devra toujours être dirigée suivant AB.

Cela établi , menons par le point de rencontre des forces trois axes rectangulaires, en prenant AB pour un de ces axes. Les composantes de la résultante suivant ces axes sont respectivement égales aux sommes des composantes de toutes les forces suivant ces axes (1376). Or la composante de la résultante suivante AB est égale à cette résultante; donc, appelant a, b, c,... les angles que font les diverses forces P, Q,S... avec AB, on a

R = Pcosa + Qcoab +Scoac+...,

équation qui donne R , quel que soit le nombre des forces.

Les projections de la résultante sur les deux autres axes sont nulles ; donc les sommes des projections des forces sur ces mêmes axes sont aussi nulles, et en appelant a', b', c' et a", bf', c" les angles que font les forces avec les deux axes perpendiculaires à AB, on a

Pcara' + Q coi- b' + S«wc’+... = o P cos a" -t- O cos b" 4- S cosc."+... ~ 0 ,

formules qui expriment les relations existant entre les forces.

Ces formules peuvent être remplacées par d’autres plus commodes dans la pratique. Les angles a', b', c'... et a", b", d' ... ne se déterminent pas facilement On ramène ce cas à celui où toutes les forces seraient dirigées dans un plan perpendiculaire à AB. Chacune des forces P, Q,S... peut se décomposer en deux autres dirigées, l’une suivant AB et l’autre dans le plan perpendiculaire à AB. Toutes les composantes dirigées suivant AB sont détruites par la fixité du point B. Toutes celles dirigées dans le plan perpendiculaire AB doivent avoir ‘une résultante nulle pour qu’il y ait équilibre; ces diverses composantes étant Vsin a. Qsinb, S sine..., prenant dans le plan de ces composantes deux axes rectangulaires, on aura alors (1376)

Pain a cos a 4- Qsinb cos ? 4- Saine cosy+-** = 0 P si» a coa a' -t- Q sin brosjl'-j- S sin c cos y' 4- ... = 0.

Les angles a, j», y... sont les angles que font les forces Usina, Qsin b... avec l’un des axes, et a', y'... ceux que font ces mômes forces avec

l’autre axe (1376). 11 est à remarquer que ces angles sont faciles à déterminer dans la pratique, car ils ne sont autre chose que les angles formés par chacun des axes avec les divers plans passant par AB et chacune des forces.

1130. Si toules les forces n'étaient pas appliquées au même point de la droite AB, on les y ramènerait en décomposant chacune des forces non appliquées au point considéré C , parexemple Q,en deux forces parallèles appliquées l’une au point fixe B et qui serait détruite, et l’autre au point C (1388). Alors il y aurait équilibre, quand il existerait entre toutes les forces appliquées et transportées au point C les relations du n’ précédent.

1451. S'il y a des forces parallèles à AB, telle que S ( /?</. 376), on remarque que la force S peut être appliquée en E' (1412). Mais s’il y a équilibre dans le système des forces P, Q , S', on ne le troublera pas en remplaçant la force S', qui a pour bras de levier BE', par la force S", appliquée en C perpendiculairement à BC, tendant à faire osciller AB dans le même sens que S' ou S, et dont la valeur est telle que l’on a

Fig. 376.

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