CENTRES DE GRAVITÉ

14313. Le centre de gravité d'un corps ou d'un système de corps est le centre des forces parallèles dues à l'action de la pesanteur sur les molécules du corps ou du système de corps, c’est-à-dire le point par lequel passent toutes les directions du poids de ce corps ou de ce système (1315, 1316, 1400).

1456. Comme on peut remplacer les actions de la pesanteur sur les diverses molécules d'un corps solide par leur résultante, qui produit absolument le même effet, on peut considérer le centre de gravité du corps comme un point auquel est appliquée une force égale et parallèle au poids; d’où il résulte que si , dans les cas d’équilibre des forces que nous avons examinés, ou dans tout autre problème de mécanique, on veut tenir compte de la pesanteur, il suffit de considérer chaque corps comme étant sollicité par une force égale et parallèle à son poids et appliquée à son centre de gravité, et de combiner ces forces avec les autres qui sollicitent le système

1437. Les actions de la pesanteur sur les molécules d’un corps solide pouvant être remplacées par le poids du corps appliqué à son centre de gravité ; on en tire différentes conséquences :

1° Un corps solide est en équilibre dans toutes les positions qu’on lui donne autour de son centre de gravité, quand on rend ce centre fixe.

2° En suspendant un corps solide par un fil , quand il y a équilibre, la direction du fil passe par le centre de gravité ; car la tension du fil , qui agit évidemment dans la direction de celui-ci , ne peut détruire le poids du corps qu’autant qu’elle lui est égale et directement opposée, et que par conséquent elle passe par le centre de gravité.

Suspendant successivement un corps solide par deux de ses points, la rencontre des deux directions du fil à travers le corps donne le centre de gravité ; d’où il résulte un moyen mécanique pour déterminer le centre

de gravité d'un corps.

3" Connaissant le centre de gravité de plusieurs corps, pour déterminer le centre de gravité de leur ensemble, on pourra employer le mode suivi pour la composition des forces parallèles (1396), en prenant ici pour forces les poids des divers corps, ou bien les masses, qui sont proportionnelles au poids (1333). Ainsi le centre de gravité de deux

corps dont les poids

sont. P et

trouve sur la droite qui joint les centres de gravité des deux corps, à des distances de chacun d’eux qui sont réciproquement proportionnelles aux poids ou aux masses.

On peut aussi fixer la position du centre de gravité d’un système do corps en faisant usage des moments de position (1406), comme on a

BlPTlfeSIE PARTI*. — SÊCAMQLE.

fixé le centre des forces parallèles par rapport à 3 plans, à 2 axes ou à 1 point, selon que les centres de gravité partiels ne sont pas dans un même plan, ou sont dans un même plan ou sur une droite. Les équations qu’on obtiendrait dans ces divers cas seraient identiques à celles du n* 1406 ; seulement les forces seraient remplacées par les poids ou par les masses dos corps.

1458. D'après ce qui précède, on voit que la position du centre de gravité d’un corps, par rapport à la surface de ce corps, dépend de la manière dont toutes les molécules sont disposées les unes à l’égard des autres dans toute l’étendue du corps. Klle dépend donc : 1" de la forme du corps; 2" delà répartition des molécules dans toutes ses parties, c'est-à-dire de la densité relative de ces diverses parties.

Dans la détermination du centre de gravité , il faut avoir égard à ces deux considérations ; mais si le corps est homogène, c’est-à-dire également dense dans toutes ses parties, on n'a plus à avoir égard qu’à la première, et alors la détermination du centre de gravité revient à la résolution d'un simple problème de. géométrie.

1450. Dans la pratique, les corps dont on a à déterminer le centre de gravité ont ordinairement des formes bien définies et étudiées en géométrie; de plus ces corps sont homogènes, ou du moins on peut les supposer tels (aucun corps de la nature n’est parfaitement homogène). Nous ne nous occuperons ici que de ces corps; et observons d’abord que les corps étant homogènes, on peut, dans la détermination des centres de gravité, remplacer les poids ou les masses par les volumes, qui leur sont proportionnels; ce qui ramène le problème à trouver le centre de gravité des volumes. Si les corps n'ont que l’épaisseur d’une molécule , les poids, les masses et les volumes sont proportionnels aux surfaces matérielles formées parles corps, et le problème est ramené à trouver le centre de gravité des surfaces. On est de même amené n trouver le centre de gravité des lignes , quand la largeur et l’épaisseur des corps sont partout celles d’une molécule.

CENTRES DE GRAVITÉ DES FIGURES

1440. On nomme centre de figure , tout point qui est tel qu’un plan quelconque qui le contient coupe la figure en deux parties égales. Ce point est le centre de gravité de la figure ; car, considérant l’un quelconque des plans sécants, les moments des deux parties du cor|>s par rapport à ce plan sont égaux comme composés des mêmes moments élémentaires, et comme ces deux moments sont de signes contraires , leur somme, c'est-à-dire le moment total de la figure, est égal à zéro, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que le centre de gravité est sur le plan (1406) ; comme il doit de même se trouver sur tout autre plan sécant, il est l'intersection de tous ces plans, c’est à-dire le centre de figure.

CENTRES »K GRAVITÉ DES RlGtRRS.

Il en résulte que le centre de gravité :

1» D'une ligne droite est le milieu de cette droite;

2" Du périmètre ou de la surface d’un parallélogramme est le point d’intersection des deux diagonales (571) ;

3" Du périmètre ou de la surface d’un polygone régulier est son centre (657);

5” De la circonférence ou du cercle est le centre;

5" De l’ellipse ou de sa surface est son centre (1055, 1056) ;

G” De deux arcs d’hyperbole symétriques par rapport au centre de l’hyperbole est ce centre (1092) ;

7" Des arêtes, ou de la surface, ou du volume d’uu parallélipipède est le point de rencontre des diagonales (757) ;

8-* De la surface ou du volume d’un polyèdre régulier est le centre (851);

9“ De la surface ou du volume de la sphère est le centre ;

10“ De la surface latérale, ou de la surface totale, ou du volume d’un cylindre droit à base circulaire (770) , est le milieu de l’axe du cylindre;

11“ De la surface ou du volume de l’ellipsoïde de révolution est le centre (1081).

I 11 1. Trouver le centre de gravité de deux droites. On joint les centres de gravité, c'est-à-dire les milieux , des deux droites; puis on * divise la droite qui en résulte en parties réciproquement proportionnelles aux poids des droites ou à leur longueur. Cela revient à trouver le centre de gravité de l’ensemble de deux corps dont les poids sont proportionnels aux longueurs des deux droites, et dont les centres de gravité sont ceux des droites (1537).

Pour trois ou pour un nombre quelconque de droites, ou pour le contour d'un polggone, on détermine de môme le centre de gravité, eu considérant chaque droite ou côté comme étant un poids proportionnel à sa longueur et appliqué en sou milieu , et en opérant comme pour la composition des forces parallèles (1396).

Pour déterminer le centre de gravité de plusieurs surfaces on opérerait absolument de la même manière, seulement les poids que l’on supposerait appliqués aux centres de gravité dos surfaces seraient proportionnels à ces surfaces.

Pour plusieurs volumes, ou prend pour poids ces volumes, et on opère encore comme pour la composition des forces parallèles.

Dans ces divers cas, on peut aussi déterminer la position du centre de gravité de l’ensemble des figures à l’aide des moments de chaque ligne, ou de chaque surface, ou de chaque volume (1537),

I Wi. Le centre de gravité du périmètre d’un triangle ABC est le centre G du cercle inscrit au triangle DEF dont les sommets sont les milieux des côtés opposés du triangle proposé.

SEPTrtMB PARTIE . — MÉCANIQUE.

En effet, le centre de gravité de l’ensemble des côtés AB, AC est le point H , tel qu’on l’on a (1441)