DI1 : HE = DF : EF

Menant FH , le centre de gravité cherché est sur cette ligne; et, dans le triangle FDE , la droite FH divisant la base DE en deux segments proportionnels aux côtés adjacents, cette droite est la bissectrice de l'angle DFE (617). Par la même raison, le centre de gravité étant sur la bissectrice El de l’angle DEF, le point de rencontre G des deux bissectrices est le centre de gravité cherché, qui est donc bien le centre du cercle inscrit au triangle DEF (604).

1445. Le centre de gravité d'un arc de cercle AB est situé sur le 3g0 rayon OC perpendiculaire à la corde AB, à une

distance OG du centre, telle que l’on a

OG : OC = AB : arc ACB,

ou, en représentant OG par x, le rayon OC par r, la corde AB par c, et la longueur de l’arc ACB par a,

x :r = c: a, doù x = r-.

D’abord le centre de gravité de cet arc se trouve dans le plan de cet arc, ce qui a lieu pour une courbe plane quelconque (1440). Il se trouve de plus sur OC, qui divise AB en deux parties égales symétriques. Il suffit donc de déterminer la distance OG. Menons un axe OX perpendiculaire à OC. I,e moment a x x de l’arc total par rapport à cet axe est égal à la somme des moments de tous ses éléments. Considérant l'élément MM', assez petit pour qu’on puisse le considérer comme se confondant avec sa corde, son moment est MM' x ID, le point I étant le milieu de MM'; mais menant MN parallèle à OX et M’N à OC , et joignant 01, les deux triangles MM'N et ODI sont semblables comme ayant les côtés perpendiculaires (613) , et ils donnent

MM': MIS = 01 : 1D, d’où, en remarquant que MN=PP',

MM x ID = PP'x r.

Ainsi le moment de MM' est égal au rayon multiplié par la projection de

CENTRES DE GRAVITÉ DES FIGURES

MM' sur la corde. Tous les autres éléments ont pour moment une expression semblable, et lour ensemble, ou l'arc total, a pour moment le rayon multiplié par la somme des projections des divers éléments sur la corde, c’est-à-dire le produit du rayon par la corde; on a donc

d’où

axx — cxr;

c : a et x

1 444. Le centre de gravité de la surface d'un triangle ABC se trouve sur la droite AD qui joint le sommet au milieu de la base, à une dis-

tance GD — - AD de la base ou à une distance GA = - AD du sommet.

Fig. 381.

/ cL-A >¥\

Supposons que AD soit divisé en parties infiniment petites, et que par tous les points de division on a mené des parallèles à BC ; la surface du triangle sera alors divisée en une infinité de tranches, lesquelles, étant divisées chacune en deux parties égales par AD, ont toutes leur centre de gravité sur cette droite ; d’où il résulte que leur ensemble, c’est-à-dire le B D c triangle, a son centre de gravité sur AD. On prouveraitdo même que le centre de gravité est sur BE, qui joint le sommet B au milieu du côté opposé AC; il est par conséquent le point de rencontre G des deux droites AD, BE. La droite joignant le troisième sommet G au milieu du côté opposé AB passerait aussi par le point G (606).

Menant DE, cette droite divisant CA et CB en deux parties égales, elle est parallèle à AB, et en est la moitié; de plus, les deux triangles semblables GDE et GAB donnent (611, 612, 613)