CI : AK = BCD : ABD

Toutes ces proportions étant liées entre elles par un rapport commun, on a

gG : g'G :: BCD : ABD.

Ce qui fait voir que gg' est divisée au point G en parties réciproquement proportionnelles aux triangles ABD et BCD, et que par conséquent ce point est bien le centre de gravité du quadrilatère.

1447. Pour déterminer le centre de gravité d'un polygone quelconque, on le décompose en quadrilatères, ou mieux en triangles, dont on détermine les centres de gravité; on cherche ensuite le centre de gravité de l’ensemble de toutes ces figures, c’est-à-dire celui du polygone proposé, d’après la règle générale pour composer des forces parallèles, ou en employant les moments (1441).

1448. Centre de gravité d'un secteur circulaire OAB. Considérant le secteur comme étant eomposé d’une infinité de triangles isocèles ayant pour sommet commun le centre O, et pour bases les différents éléments de l'arc AB, les centres de gravité de tous ces triangles seront uniformément répartis sur l’arc ab, dont le

rayon Oc = = OC (1444) , et le centre de gravité de

cet arc sera celui du secteur.

Or G étant ce centre de gravité, on a (1443)

Fig. 395.

OG = Oc x

corde ab arc acb ’

Comme 0c=50C, corde aô= - corde AB et arc acb = - arc ACB ,

désignant, comme au n“ 1443, corde AB par c, arc ACB par a et OC par r, il vient

nr 2r3 2 c

0G:a*5rr Ӊr5-

1449. Centre de gravité d’un segment circulaire ABC (flg. 385).

Ce centre de gravité se trouve sur OC (1440). Soit S la surface du secteur OACB, T celle du triangle OAB; celle du segment est S— T. Soit, de plus, D, d et x les distances respectives du point O aux centres de gravité du secteur, du triangle et du segment (1444, 1448). Le moment

CENTRES DE GRAVITÉ DES FIGURES

du segment par rapport au point O est égal à la différent des moments du secteur et du triangle par rapport au môme point; donc

(S — T]i = SxD — Txd, d’où x=

Désignant par a la longueur de l’arc ACB, par c celle de la corde AB, par h la hauteur OD du triangle OAB, et par r le rayon OA , on a

D=jjr£, S=îar, T=^ Ac, S— T=£(ar— Ac), et- Par

suite.

2arX3r5“2Ac><3A

2 (ar—hc)

3 ar—hc '

ou, en remarquant que r'— ^ *

x~ 6 (ar — hcj

1 4BO. Le centre de gravité d'une zone sphenque comprise entre les deux plans parallèles AB, CD art situé sur le rayon OF -perpendiculaire aux plans AB, CD, au point G milieu de la distance FH de ces plans.

La surface d’une zone étant proportionnelle à sa hauteur (870) , en considérant la zone proposée comme décomposée en zones élémentaires par des plans équidistants parallèles à AB, les centres de gravité de toutes ces zones de même surface seront répartis uniformément sur toute la longueur de FH, et le centre de gravité de leur ensemble, c’est-à-dire de la zone proposée, sera bien situé au milieu de cette droite.

La zone pourrait n’avoir qu’une base ; et si la deuxième base devenait tangente à la sphère, la zone serait la surface de la sphère, dont le centre de gravité serait bien au centre (1/tàO).

1481. Le centre de gravité d’un prisme est au milieu de la droite qui joint les centres de gravité des deux bases (739). En effet , décomposant le prisme en tranches infiniment minces par des plans équidistants parallèles aux bases du prisme, les centres de gravité de ces tranches égales se répartiront uniformément sur la droite qui joint les centres de gravité des deux bases du prisme, et le centre de gravité de leur ensemble, c’est-à-dire du prisme, se trouvera bien au milieu de cette droite.

Remarque 1, Le centre de gravité du prisme est le centre de gravité

Fig. 386.

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

de la section faite à égale distance des bases par un plan parallèle à ces

bases.

Remarque 2. Ce qui vient d’être dit pour le prisme est applicable à un cylindre quelconque (776. 14à0).

1 4.! >2. Le centre de gravité d'une pyramide triangulaire SABC se trouve sur la droite SD qui joint le sommet S de la pyramide au centre

de gravité D de la base, et au point G, tel que l'on a GD= ^ SD ou