ED : EC = DF : CS

d’où l’on conclut, ED étant le ^ de EC, DF— l CS.

Les deux autres triangles semblables GDF et GCS donnent GD : GS = DF : CS, d’où , DF étant le | de GS, on conclut bien

GD= | GS, c’est-à-dire GD= \ SD.

Remarque. Menant la hauteur SH de la pyramide et la perpendicu-

CENTRES DE GRAVIT* DSS PIGIRKS.

laire GI à la base, on a GI= ^ SH. Ainsi la distance du centre de gravité à la base est égale au quart de la hauteur de la pyramide.

14.13. Considérant une pyramide quelconque comme composée de pyramides triangulaires ayant même sommet, et pour bases les divers triangles qui composent la base de la pyramide proposée, toutes ces pyramides partielles ont leurs centres de gravité situés sur un même plan parallèle à la base, et distant de cette base d’une quantité égale au 1/4 de la hauteur de la pyramide ; par conséquent leur ensemble, c’està-dire la pyramide proposée, a son centre de gravité situé sur le même plan ; et comme, d’après des considérations analogues à celles posées pour la pyramide triangulaire, le centre de gravité se trouve aussi sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, on peut donc dire que le centre de gravité d'une pyramide quelconque se trouve sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base, au quart de cette ligne à partir de la base.

1434. Considérant un cône comme ‘étant une pyramide dont la base est un polygone d’une infinité de côtés, ce qui vient d’être dit pour la pyramide s’applique également au cône (782).

1488. Remarque. Deux corps égaux , dont les centres de gravité sont les sommets A et B ( Jig . 387) , ont pour centre de gravité le point E (3*. Ià37) ; si un troisième corps, égal à chacun des premiers, a le sommet C pour centre de gravité, le centre de gravité de l'ensemble des trois corps est le point Dj S étant le centre de gravité d’un quatrième corps égal , le centre de gravité de l’ensemble est le point G. D’où l’on conclut :

1” Que deux corps égaux ont même centre de gravité que la droite qui joint leurs centres de gravité ;

2’ Que trois corps égaux ont pour centre de gravité celui du triangle qui a pour sommets les centres de gravité des trois corps ;

3“ Que le centre de gravité de quatre corps égaux est celui de la pyramide dont les sommets sont les centres de gravité des corps.

148G. Centre de gravité d'un tronc de pyramide à bases parallèles (8ù8). Ce centre de gravité se trouve sur la droite qui joint les centres de gravité des deux bases du tronc , droite qui passe par le sommet commun des deux pyramides; 11 s’agit d’avoir sa distance x à ce sommet commun. Par rapport à ce sommet, le moment du tronc T est égal au moment de la pyramide totale P, moins celui de la pyramide retranchée p. U et à étant les distances des centres de gravité des pyramides à leur sommet commun , on a donc

„ „ , ,, . PxD — pxd .

Txï = PxD— pxd, d’où x= l. r — •

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

Fig. 388.

Le centre de gravité d'un tronc de cône à bases parallèles se trouverait à l'aide de la même expression.

1487. Centre de gravité d'un secteur sphérique OABCD, engendré par le secteur circulaire OAC qui fait une révolution autour du rayon extérieur OE.

Considérant ce secteur comme composé de pyramides infiniment petites, ayant pour sommet commun le centre O, et pour bases les divers éléments de la zone ABCD, base du secteur, les centres de gravité de ces pyramides élémentaires seront répartis uniformément sur la zone abcd, dont le

rayon Oa = - OA (1452). Le centre de gravité cherché est donc celui de cette zone, et il est par conséquent le point G , milieu do if (1450).

Prenant ie = Of, on a OG = ^ Oe= | (0/+Oi),ou, en remarquant que 0/= y OF et Oi = ? 01, OG = f (OF 4- 01).

Si le secteur sphérique était engendré par le secteur circulaire OAE tournant autour de OE, l’expression de OG serait encore la môme, seulement 01 serait remplacé par le rayon OE.

1488. Détermination du centre de gravité (Tune surface plane quel-

conque.

On décompose la surface en un nombre pair n de bandes, par des droites parallèles équidistantes dont les extrêmes sont tangentes à la surface. Le moment de chaque bande par rapport à la première parallèle est égal au produit de sa surface par la distance de son centre de gravité à cette parallèle. Soient a„, a„ a,... a„ les longueurs des parallèles, et y0, y„ y,... yn leurs distances respectives à la première parallèle Oa;; les moments des parallèles par rapport à Ox sont respectivement atxy0, a, x y, , a, x y,... a, x y, , et si l’on considère ces moments comme étant les ordonnées Y0, y,, Y,... Yn d’une courbe dont les abscisses sont les distances y0, y, , y,... des diverses parallèles à la première Ox, l’aire de cette courbe représentera le moment de la surface donnée par rapport 4 Ox. Ainsi, Ii étant la hauteur de la surface, c’est-à-dire la distance des deux parallèles extrêmes, S la surface, et Y la distance de son centre de gravité à la première parallèle Ox, on a, en appliquant la formule de Simpson (1178),

Fig. 389.

Sx Y — — [Y0 + Y, + 4(Y, + Yj +... -f Yn-,

) + 2(Y, + Yt+... + Yn-J].

CENTRES DE GRÀVfrt DBS FIGURES.

Formule de laquelle on tire la valeur de Y.

Ayant y, = 0, on a aussi a,xy, = ïo=0.

Si la surface a un axe de symétrie perpendiculaire à Or, le centre de gravité se trouve sur cet axe, et il est déterminé par la seule valeur de Y. Dans le cas où il n’y aurait pas d’axe de symétrie, en opérant pour un second axe O y, comme on vient de le faire pour Or, on déterminerait la distance X du centre de gravité de la surface à cet axe, et connaissant Y et X, le centre de gravité serait déterminé.

14<59. Détermination du centre de gravité d’un corps quelconque. Si le corps est cylindrique (776), son centre do gravité est celui de la section faite au milieu de sa longueur par un plan parallèle aux bases du cylindre, et le problème est ramené à celui du n° précédent

Dans le cas où le corps est quelconque, on suit encore une marche analogue à celle du n“ précédent. Ainsi on partage le corps en un nombre pair n de tranches par des plans parallèles équidistants , dont le premier zOx et le dernier sont tangents au corps; on détermine les surfaces a0, a,, a,... des sections faites dans le corps par ces plans, et les distances y,, y,, y,... de ces sections à la première iOz. Les produits a,xy0, a,xy,, o,xyr.. senties moments des sections par rapport au plan xOz, et considérant ces moments comme étant les ordonnées Y0, Y,, Y,... d’une courbe dont les abscisses sont les distances y0 , y, , y,... des sections à la première zOz, l’aire de cette courbe représente le moment du corps par rapport au plan iOz, Ainsi V étant le volume du corps et Y la distance de son centre de gravité au plan iOz, on a

Formule de laquelle on tire la valeur de Y.

On trouverait de même les distances X et Z du centre de gravité du corps à deux autres pians yOz et xOy tangents au corps. On a soin de choisir les trois plans tangents perpendiculaires entre eux, et le contre de gravité se trouve déterminé par ses distances X, Y et Z à ces plans (960).

1460. Théorème de Gulditu

Ce théorème, qui repose sur les propriétés des centres de gravité, se divise en deux parties :

1” fn surface S, engendrée par une courbe plane quelconque AB, qui fait une révolution entière autour d'un axe CD situé dans son plan, a pour mesure la longueur h de la courbe génératrice, multipliée par la circonférence 2^Y que décrit le centre de gravité de la courbe; ainsi (667)

S=feYxL.