MO

Stl’TIÈME PARTIB. — MÉCANIQUE.

Fig' 3»o. Considérons un élément quelconque MN de la

courbe. Pendant la révolution* cet élément enü gendre la surface latérale d'un tronc de cône. Cette surface a pour mesure 2 ny x MN, y étant mené au milieu de MN (867). y xMN est le moc " 1 b ment de l'élément MN par rapport à CD. La

surface décrite par chacun dœ autres éléments ayant pour mesure une expression analogue, la surface décrite par tous les éléments, c’est-à-dire par la courbe AB, a pour mesure la somme de toutes ces expressions, c’est-à-dire 2 r. multiplié par la somme des moments des divers éléments, ou 2* multiplié par le moment Y x L de la courbe; on a donc bien

S = 2ttïxL.

Remarque. SI la révolution de la courbe génératrice n’était pas complète, la surface décrite aurait pour mesure la courbe génératrice multipliée par l’arc décrit par son centre de gravité.

2" Le solide engendré par une surface plane quelconque ABC, pendant une révolution entière autour de l'axe DE situé dans son plan, a pour mesure le produit de la circonférence 2itY, décrite par son centre de gravité G, multipliée par la surface génératrice S; ainsi on a (667)

Yt=27iïx8.

Considérant le solide engendré par la surface ABC comme composé de tranches infiniment minces, déterminées par des plans perpendiculaires à DE, l’une quelconque de ces tranches, par exemple celle engendrée par le trapèze MNnm, peut être considérée comme étant très-approximatlvement la différence de deux cylindres droits ayant PO pour hauteur commune, et pour rayons, l’unIp = R, et l’autre ip—r; son volume est donc (859)

k(R>— r*)xPO=:-(R + r)(R— r)xPO. (646)

Remarquant que (R— r)xPO est la surface s du trapèze MNtwi (640), R -j- r

*lue g — l’ordonnée y du centre de gravité de ce trapèze et que

par suite tt(R + r) = 2ry, il en résulte que le volume de la tranche est 2-ys; c’est 2 TT multiplié par le moment du trapèze. Toutes les autres tranches ayant même expression, et le volume de toutes ces tranches étant la somme de toutes ces expressions, il est donc 2- multiplié par la somme des moments de tous les trapèzes qui composent la surface,

Kig. 39t.

CORPS EXÉCUTANT UN MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE. Si I

c'est-à-dire 2 « multiplié par le moment de la Surface, ce qui donne bien

V = 2-Yx§.

Remarque. Comme au 1”, si la révolution n’était pas complète, le volume engendré serait S multiplié par l’arc décrit par le centre de gravité.

CORPS EXÉCUTANT UN MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’üN AXE FIXE.

1461. Ixi vitesse angulaire d'un corps solide qui tourne autour d'un axe est la longueur de l'arc décrit , ou qui serait décrit si le mouvement en restant uniforme était suffisamment prolongé , pendant l’unité de temps, par un point situé à l’unité de distance de l’axe et lié invariablement au corps (1305).

1462. •» étant la vitesse angulaire d'un corps, et t la vitesse d’un quelconque de ses points situé à une distance r de l’axe, on a , en remarquant que les vitesses des divers points sont proportionnelles à leurs distances à l’axe ,

c : «o = r : 1, d’où v = mr.

1465. Force vire d'un corps tournant autour d'un axe Jtie. Lorsqu’un élément matériel m tourne autour d’un axe, sa vitesse étant <->r, sa force vive est (1355)