F (AP+ A'P') = F^PP' — AA

et comme, d’après le numéro précédent, on peut remplacer PP' par aa', on a donc, pour la somme des travaux élémentaires,

F(aa' - AA').

Ce qui fait voir que cette somme est égale au produit de l’une des forces par la quantité dont a varié la distance des deux points mobiles.

Pendant le parcours simultané de chacun des éléments de ABetA'B', la somme des deux travaux élémentaires des forces aurait la même expression ; donc le travail total produit par les deux forces pendant tout le parcours est égal à la somme de tontes ces sommes élémentaires; c'est-à-dire à l'une des forces multipliée par la quantité dont les deux points se sont éloignés ou rapprochés.

Ce travail est le môme que si l’un des points était fixe, et que l’autre, sollicité par l’une des forces agissaut dans la direction de la droite qui joint les deux points, s’en soit éloigné ou rapproché de la même quantité.

On voit que le travail ne dépend nullement du mouvement absolu du système , mais seulement du mouvement relatif des deux points.

Il est évident que le travail est positif ou négatif, suivant que les forces étant répulsives, il y a écartement ou rapprochement des points, ou qu’étant attractives, il y a rapprochement ou éloignement.

Si les forces, tout en-restant égales et directement opposées, variaient d'intensité, on pourrait les considérer comme étant constantes pendant le parcours de chacun des éléments du chemin ; on aurait alors chaque travail élémentaire comme dans le cas précédent, et en faisant la somme de tous les travaux élémentaires, on aurait le travail total, qui serait d’autant plus exact que l'on aurait opéré sur des valeurs plus rapprochées des forces. On pourrait encore , pour évaluer ce travail total , tracer une courbe dont l’aire représenterait ce travail , comme au n° 1344.

1480. Travail des forces appliquées à un corps solide ayant un mouvement de translation.

1” Supposotis d'abord que les forces restent constantes et parallèles.

Pendant un temps quelconque du mouvement , tous les points du système décrivant des chemins égaux et parallèles , le travail produit

*22 SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

par une force F faisant un angle « avec la direction du mouvement est, pour un chemin parcouru E (1343),

E x F cos <x.

Menant un axe Or parallèle à la direction du mouvement, E se projette en véritable grandeur sur cet axe , et désignant par E* cette projection , on a E=E„ Ea projection de F sur Ox est égale à sa projection sur la direction du mouvement, et on voit que désignant par F» cette projection , on a

Fcosa=Fx.

Représentant par TF le travail de F, on a donc

TF = E«F,.

Pour toutes les autres foroes, on a un travail d’une même expression ; et en faisant la somme de tous ces travaux partiels , on a le travail total , que l’on peut alors mettre sous la forme , en remarquant que Ex est commun h toutes les parties de la somme ,

23TF = E,Sf..

Ce que l'on peut énoncer en disant que la somme des travaux des forces appliquées à un corps solide, pendant le mouvement de translation , est égale au chemin parcouru par un point quelconque du solide , multiplié par la somme des projections des forces sur un axe parallèle à la direction, du mouvement. Cette somme de projections étant égale à la projection de la résultante (1398), on voit que la somme des travaux des forces est égale au travail de la résultante (1379),

2" Si les forces, au lieu de rester constantes et parallèles à ellesmêmes, changeaient d’intensité ou de direction, on établirait, pour un quelconque e des éléments de l’espace parcouru , l'équation que nous avons posée dans le cas précédent pour l’espace total E, et on aurait pour une force F

TF = exFx,

et pour toutes les forces,

SïT = e*2F,;

ce que F on peut énoncer en disant que la somme des travaux élémentaires des forces appliquées à un système solide , pendant le mouvement de translation du système , est égale au chemin élémentaire parcouru par l'un de ses points , multiplié par la somme des projections des forces sur un axe parallèle à la direction du mouvement.

Pour avoir le travail produit pendant une portion quelconque du parcours, il suffirait d’ajouter toutes les sommes de travaux, que l’on