T— A(P/ + PT
ce qui fait voir que les forces étant constantes, et conservant toujours la même position relative par rapjiort à l'axe , le travail produit pendant le parcours d'un espace angulaire quelconque est égal à cet espace angulaire multiplié par la so?nme des moments de toutes les forces.
1483. Le travail élémentaire produit par une force F dans le mouvement de rotation étant (1481;
TF = aPl = Pal ,
comme les arcs parcourus sont comme les rayons , ainsi [fig. 400 )
* a : KK' = 1 : OK ou /, d'où KK ' = «/,
représentant KK' par e, le travail élémentaire dû à la force F a aussi pour expression
5TF — Pu ;
c'est le produit de la projection P de la force F par Parc élémentaire ayant le bras de levier pour rayon.
La force F restant constante en grandeur et en position relative par rapport à l’axe, le travail reste le même pour chacun des éléments e,e!... parcourus par l’extrémité du bras de levier, et on conclut, E étant la somme de tous ces éléments, que le travail total produit par F pendant ce parcours est
5TF=PE;
expression que l’on pouvait obtenir directement en remarquant que dans la formule (1) du n“ 1482 A/=E.
Ainsi , dans le cas d'une force constante en grandeur et en direction relative, le travail est représenté par le produit de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe par Parc que décrit l'extrémité de son bras de levier.
Toutes les autres forces produiraient un travail d’une expression analogue, et en faisant la somme de toutes les expressions on aurait le travail total produit.
1484. Remarque i. On voit que le travail produit par une force quelconque est le même que celui produit par sa projection sur un plan perpendiculaire à l’axe, et que l’on peut supposer cette projection appliquée à l’extrémité de son bras de levier (1425, 1481).
148i». Remarque 2. La force F étant dans un même plan avec l’axe , elle lui est parallèle, et alors P = 0; ou elle le rencontre, et on a l— 0. Dans l’un et l’autre cas, le moment P/ = 0.
La réciproque est également vraie; car pour avoir Pf = 0, il faut que P=0, c’est-à-dire que F soit parallèle à l’axe, ou que /=0, et alors F rencontre l’axe.
Quand P/ = 0, le travail aPf = 0; donc, toutes les fois que la force sera dans un même plan avec l’axe, son travail sera nul.
La réciproque est également vraie pour aPf=0, car a ne pouvant .être nul , il faut que P/ = 0 ; ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la force est dans un même plan avec l’axa
1480. Lorsqu'un point matériel M se meut dans l'espace en vertu d'une vitesse initiale v. , et de l'action d'une force constante F, qui peut être la résultante de plusieurs autres, sa projection sur un axe
V jl=lè = mi («O», 133/1)
3 ^ wit/* j (1347)
Résultats faciles à énoncer verbalement.
14U7. Dans la pratique on a généralement à considérer un système de points matériels; mais ordinairement ces points matériels constituent un seul corps solide, ou s’ils en constituent plusieurs, ceux-ci n’exercent aucune action mutuelle les uns sur les autres, de sorte qu'on peut considérer chaque corps comme formant un système à part.
Dans un corps solide, pour les mouvements compatibles avec la solidité du système, les mouvements relatifs des molécules pouvant être supposés nuis (1383), il en résulte que le travail des actions mutuelles égales et directement opposées est nul (1479), et qu’il n’y a qu’à tenir compte des forces extérieures qui sollicitent le système. De plus on peut considérer tout .le système comme étant concentré à son centre de gravité, s il s’agit d’un mouvement de translation (1480), ou concentré à l’extrémité de son rayon de gyration, s’il s’agit d’un mouvement de rotation (1481) ; et alors tout ce qui a été dit relativement à un point matériel peut se répéter pour un corps solide.
Cependant, comme l’on peut avoir à étudier un système composé de plusieurs corps solides, et qu’il pourra être commode et même quelquefois nécessaire de considérer les corps comme ne formant qu’un système (1525), nous allons citer les résultats que l'on obtient pour un système de deux ou d’un plus grand nombre de points matériels liés entre eux par des actions mutuelles, résultats que l’on pourra appliquer à un système quelconque de corps, en considérant ces corps comme étant concentrés à leurs centres de gravité ou aux extrémités de leurs rayons de gyration.
Considérons un système composé de deux éléments matériels M' et M" sollicités respectivement par les actions mutuelles, variables ou non , f et /". Soit F' la résultante des forces extérieures qui sollicitent M' et F" celle des forces extérieures qui sollicitent M"; soient, de plus, v'o et v", , r' et r" les vitesses initiales et les vitesses des points matériels M’ et M"après le temps t = 0 -f 0'... En ajoutant l’indice x pour désigner les projections de ces forces et de ces vitesses sur un axe quelconque Ox, la relation entre la quantité de mouvement et l’impulsion suivant cet axe devient respectivement pour chacun des points matériels considérés séparément (1486)
mV,- m' r'..- = EF',!) + S/,0 ,
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
Faisant la somme de ces deux équations on a , en remarquant que les forces /', et J"x étant toujours égales et de signes contraires, les impulsions 2 /'*0 et 2f"x 0 sont égales, de signes contraires et se dé- •v truisent,
(m'v'x + wiV',) — (m't'oM + — 2F',0 +
Ce qui fait voir que l'accroissement de la somme des quantités de mouvement projetées suivant un axe quelconque est égal à la somme des impulsions des forces extérieures projetées sur le même axe , et indépendant des actions mutuelles.
Dans le cas où F' et F" seraient constantes en grandeur et en direction , F» et F", seraient constantes, et l’équation précédente deviendrait
+ m"v"j) — (mV„ + m" v"ox) = T’xt + F'*/.
Ce qui vient d’être dit pour un système de deux points matériels s’applique à un système composé d’un nombre quelconque de points. Ainsi on a
2mvx— 2mv„=s £f,0.
1488. Mouvement du centre de gravité d'un système matériel.
La somme des moments de différents points matériels par rapport à un plan quelconque étant égale au moment de tout le système concentré à son centre de gravité (1437), on a, en désignant par x', x"... les distances des points matériels au plan , par X celle du centre de gravité au même plan, et par m', m"... les masses de ces points :
Soit Ox un axe parallèle aux distances x', x"... X. Projetant tous les points matériels et le centre de gravité du système sur cet axe, les longueurs x', x"... X se projetteront en véritable grandeur, et on aura encore pour ces projections
m'x’+ = xE/m. (1)
Ce qui fait voir que la projection du centre de gravité dun système de points matériels sur un axe quelconque est le centre de gravité des projections des points matériels sur le même axe. C’est également vrai pour les projections sur un plan.
Supposant maintenant que les points matériels se déplacent d’une quantité infiniment petite , et que leurs ordonnées suivant le même axe Ox deviennent x'+e’*, x"+e”x + ...; X + ex étant l’ordonuée du centre de gravité , on a pour cette nouvelle position
wi'(x'+ e'm) + m"(x"+ e"x) + .. . = (X+ ex) 2m.
DYNAMIQUE D IX SYSTÈME MATÉRIEL Ql ELCOÜQUB. 5Ï9
Retranchant membre à membre l’équation (l) de cette dernière, il vient
m'e'x + m"e"T + ... = ex2m.
Divisant les deux membres de cette équation par 0, instant pendant lequel le système s’est déplacé , on a
rrie'r , mV, , e* v
Remarquant que —■ = r", , -g- = v"*... sont les vitesses des projec-
tions de m', m"... sur l’axe Ox (1305), et que y =u* est celle de la projection du centre de gravité, on a
Ce qui montre que la somme des quantités de mouvement projetées sur un are est égale à la quantité de mouvement de tout le système concentré au centre de gravité projetée sur le même are; ce qu’en abrégé on peut, écrire ainsi :
2,mv* = Uj-Zm.
De cette formule on pourra tirer u*.
Menant trois axes coordonnées, on aura une expression semblable pour chacun d'eux , et on pourra déterminer la vitesse de la projection, c’est-à-dire la projection de la vitesse u du centre de gravité sur chacun d’eux, et par suite la valeur et la direction de cette vitesse (13G0, 1373). On a (1/187)
2mvx — — 2FjO.
Remplaçant et Smc», par leurs valeurs en fonction de la vitesse du centre de gravité, on a
ou
£m(a, — Moi) = 2F,0.
Cette équation fait voir que la variation de la projection de la vitesse du centre de gravité d’un système sur un axe dépend uniquement en grandeur et en direction des forces extérieures, et nullement des actions mutuelles et du rapprochement ou écartement des points matériels du système.
Cette vérité étant indépendante de l’axe, elle s'applique à trois axes coordonnés, et il en résulte que ce qui vient d’ètre dit pour les variations des projections peut se répéter pour la vitesse elle-même; ce qui
«3<> SEPTIÈME PARTIE, — MÉCANIQUE
prouve lo théorème remarquable connu sous le nom de principe de la
conservation du mouvement du centre de gravité.
Ce principe consiste en ce que le centre de gravité se meut comme un point matériel réunissant à lui seul la masse totale — m de tous les poinis du système, et qin serait sollicité par les Jarres extérieures transportées en ce point parallèlement éi elles-mêmes.
La résultante de toutes ces forces extérieures transportées parallèlement à elles-mêmes en un même point a été appelée par M . Belaiiger résultante de translation.
Exemples où le théorème du mouvement du centre de gravité se réalise.
1" Un projectile lancé faisant explosion , tant que les éclats ne rencontrent pas d'obstacle, sauf la modification due à la résistance de l'air, le centre de gravité continue son mouvement de la même manière que si l’explosion n’eût pas eu lieu.
T Si un homme en tombant d’une certaine hauteur s’agite, son centre de gravité peut changer de position dans sou corps, mais il continue son mouvement comme si l'agitation n’avait pas eu lieu.
Sien tombant l’homme lance un projectile qui l’accompagnait, il modifie son mouvement ainsi que celui du projectile, mais il ne modifie en rien celui du centre de gravité de l’ensemble de son corps et du projectile.
15 Ut). Extension du principe des forces rives à un système quelconque de points matériels. Cas des machines. Effets des volants.
1° Pour le seul point M décrivant une courbe quelconque , animé de la vitesse initiale v, et sollicité par la résultante constante K, la formule 3“ du u“ 1A80 devient , en prenant l’axe parallèle à la direction de F,
2 mr.J — - mv„x% = Fie, = FE„.
Pour deux autres axes rectangulaires entre eux et au premier, la même formule donne, en remarquant que F„ = 0 et F, = 0 ,
- mty — - mv0y = 0 et - mtv — - mc„. = 0.
Ajoutantes trois équations, il vient, en remarquant que u*î-f-u,*+e,l=c*
Ct U,** "p -f“ U,,* — l'n" ,
- TOU* — j mv« — FE» — 5TF.
Formule qui fait voir que, quelle que soil la courbe décrite par le mobile , f accroissement de force vive est égal au travail de la résultante des forces (13è6).
Pans le cas où F varie en Intensité ou en direction , on poutlaconsi-
DYNAMIQUE D'iTN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. 531
dérer comme constant» pendant des temps infiniment petits, et on a pour ces instants successifs,
2 5 *nt)o* = TF, ,
| mv* — | m»V, = TF».
Faisant la somme de toutes ces équations, on a, en supprimant les quantités qui se détruisent, et en représentant par TF la somme des travaux élémentaires,
^ wm* — | wtv* — 3TF.
Ainsi , dans tous les cas, l'accroissement de force vive est égal à la somme des travaux des forces.
ü” Système composé d'un nombre quelconque de points matériels liés entre eux jxtr des actions mutuelles.
Pour deux points, en conservant les mêmes notations qu’au n" 11187, on a successivement pour les points matériels M’ et M" considérés séparément (1°)
^ = TF' + Tf,
i — i m"vf = TF" + Tf ",
Ajoutant ces deux équations, on a pour tout le système
