T, F' + TV/,' + TV,/,’ + TV

TVF"+ TV/,''+ TV/,"+ = 0,

et ainsi de suite.

Ajoutant toutes ces équations, on aura, en représentant par -TV F la somme des travaux de toutes les forces extérieures, et par £TV la somme des travaux virtuels des actions mutuelles ,

lTv? + lT,.f=o.

Ce qui fait voir que le système étant en équilibre ou ayant un mouvement uniforme de translation, la somme des travaux virtuels de toutes les forces tant extérieures qu'intérieures est égale à 0.

Toutes les fois que dans le mouvement virtuel les distances mutuelles des points du système restent constantes, ce qui , par exemple , a toujours lieu pour tous les mouvements virtuels d’un système d’une solidité parfaite, les travaux virtuels de toutes les actions mutuelles sont nuis; par suite, 2Tt/=0, et l’équation d’équilibre précédente devient

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE D'uN SYSTÈME MATÉRIEL , ETC. 535

Ainsi, dans tout mouvement virtuel compatible avec la solidité, parfaite du système, la somme alyébrique des travaux virtuels des forces extérieures est nulle lorsqu'il y a équilibre. C'est la même condition que pour un point matériel. i

1 495. La réciproque n'est pas vraie pour des corps non d'une solidité parfaite , c’est-à-dire susceptibles de changer de forme sous l'action des forces extérieures. Un corps élastique, par exemple, soumis à l'action de deux forces égales et contraires, n’est pas en équilibre quoique ces deux forces se fassent équilibre.

1494. Cette réciproque est toujours vraie pour les corps parfaitement solides.

En effet , si un tel corps supposé en repos ou en mouvement se mettait en mouvement ou modifiait celui qu’il possède, il acquerrait dans un temps très-court une force vive très-petite, mais réelle, ou la force vive qu’il possède serait augmentée ou diminuée, ce qui ne peut avoir lieu dans l’un et l’autre cas qu’autant que le travail des forces n’est pas nul (1489); or le travail des forces intérieures étant nul, puisque le système est solide, et celui des forces extérieures l’étant par hypothèse, il («t donc impossible que le système, d’abord en repos, se soit déplacé, ou que, d’abord en mouvement , ce mouvement se soit modifié.

149B. De ce qui précède, il résulte le théorème fondamental suivant :

Pour qu'un corps solide soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme alyébrique des travaux virtuels des forces extérieures soit nulle pour tous les mouvements compatibles avec la condition de solidité.

Lorsqu'il s'agit d'un corps ou système matériel susceptible de déformation, les mêmes conditions générales d'équilibre sont encore nécessaires, mais non suffisantes.

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE D’UN SYSTÈME MATÉRIEL DÉDUITES DES MOUVEMENTS VIRTUELS.

1400. Mouvements virtuels les plus simples d'un système matériel quelconque. Pour un système matériel , on peut supposer une infinité de mouvements virtuels plus ou moins définis, parmi lesquels il y en a deux espèces de parfaitement déterminées; la première comprend les mouvements virtuels de translation, c’est-à-dire ceux dans lesquels tous les points se déplacent parallèlement à une môme direction ; la deuxième comprend les mouvements virtuels de rotation , c’est-à-dire ceux dans lesquels tous les points, restant à la môme distance d’un axe, ont même vitesse angulaire autour de cet axe (1461).

1497. Des trois équations d'équilibre d'un système déduites des mouvements virtuels de translation.

Supposant que le mouvement virtuel de translation a lieu parallèle-

SEPTIÈME PARTIE» — MÉCANIQUE

ment à un axe quelconque Ox, chacun des points d'application des forces décrit un chemin infiniment petit, égal à e, parallèle à Ox, et qui se projette en véritable grandeur sur cet axe , soit ç, cette projection. Les projections des forces sur la direction des chemins c sont égales aux projections dé ces forces sur l’axe Ox. F, , F", étant ces projections, les travaux virtuels de ces forces sont respectivement ez¥j, e»F''.r... Ajoutant tous ces travaux partiels, on a le travail virtuel de toutes les forces , qui est

*»Fj + b»F,j+... ou e»(F', + ¥"z -+- ...) , travail que l’on peut exprimer par

2e, F, ou e,2F,.

Cette somme algébrique devant être égale à 0 pour l’équilibre (1495), on doit avoir

Ci (F, + F', + ...) = 0 ou e* 2F, = 0 ; d’où l’on conclut, e, n’étant pas nul ,

F'. + F', +... = 0 ou 2F, = 0.

Équation qui fait voir que, quand il y a équilibre , la somme algébrique des projections des forces sur un axe quelconque est nulle.

Cette propriété des forces en équilibre ne dépend , comme le fait voir la formule précédente, que des intensités absolues des forces et des angles qu’elles font avec l’axe, et non des positionsde leurs points d’application.

En transportant toutes les forces parallèlement à elles-mêmes en un même point d’application, la somme de leurs projections ne changera pas . et elle sera encore égale à 0. Ces forces, ainsi transportées, ont uuo résultante unique appelée résultante de translation, laquelle, ayant même projection sur un axe quelconque que toutes les forces (1398) , il en résulte que la condition

F'« + F', + ... = 0 ou 2F, = 0

signifie que la projection sur un axe quelconque de la résultante de translation (Tutt système de forces en équilibre est égale à zéro.

Lorsque cette condition est vérifiée pour (rois axes Ox , Oy et Oz qui se rencontrent sans être situés dans un même plan , elle est satisfaite pour un autre axe quelconque.

En effet, ayant 2F* = 0 , la projection sur Ox de la résultante de translation est nulle, d’où il résulte que la résultante de translation est nulle ou perpendiculaire ù Ox.

Si l’on a en même temps 2f, =0 et 2 F, = 0, les projections sur Ox