CONDITIONS D'ÉQUILIBRE D'UN SYSTÈME MATÉRIEL, ETC

et O y de la résultante de translation sont nulles, ce qui ne peut avoir lien qu’autant que la résultante est nulle ou perpendiculaire à la fois à Ox et Oy, c’est-à-dire au plan xOy,

Enfin, si l’on a à la fois iF, = 0 , 2F, = 0 et il’, =0, les projections de la résultante de translation sur les trois axes sont nulles, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que cette résultante est nulle ou perpendiculaire à la fois aux trois axes ; comme cette dernière condition est impossible puisque les trois axes ne sont pas dans un même plan, il faut donc que cette résultante de translation soit nulle. Cette résultante étant nulle, sa projection sur un axe quelconque l'est aussi, et comme cette projection est égale à la somme des projections de toutes les forces sur le même axe, il en résulte bien que cette somme est aussi égale à 0.

Ainsi déjà les trois équations distinctes

2F, = 0, ÏV, = 0 et 2F, =0

étant satisfaites, on est sûr que le système ne prendra aucun mouvement de translation.

1498. Ces équations renferment comme cas particulier celles du n” 1377 relatives à un point matériel sollicité par un nombre quelconque de forces. Dans ce cas, le mouvement virtuel ne pouvant qu’être de translation , on est sûr que les équations précédentes étant satisfaites , il y a équilibre ; c’est ce que nous avons établi au n“ 1377 sans avoir recours aux mouvements virtuels.

1499. Des trois équations d'équilibre d'un système déduites des mouvements virtuels de rotation.

Dans le mouvement de rotation autour d’un axe, tous les points conservant la même position relative, ils ont même vitesse angulaire (1461). Supposant un mouvement virtuel de rotation , et désignant par a le déplacement angulaire virtuel, le travail virtuel de chacune des forces du système étant égal au déplacement a multiplié par te moment pris par rapport à l’axe (1481) , pour une force F', dont le bras de levier est

on a

= nP7'.

Chacune des autres forces donnera une expression analogue , et en faisant la somme de toutes ces expressions on aura le travail virtuel total

T, = o(P7'+ VI" +...) = a2Pf ,

ou (1481)

Ce travail total devant être nul pour qu’il y ait équilibre (1495), on doit avoir

SEPTlfcMR PARTIE. — MÉCANIQUE.

alM.F=0;

d'où, a n’étant pas nul,

Ce qui fait voir que dans le eau d’équilibre la somme algébrique des moments des forces extérieures par rapport à un axe quelconque est égale à 0. C’est ce qui a été établi au n“ 1426 saus le secours des mouvements virtuels.

Considérant trois axes, Ox, Oy et Os, se rencontrant sans être dans un môme plan, on aura pour ces axes respectifs :

Sm„»F = 0, 2M„,F=0 et 2M„,F=0.

Les moments dépendant des distances des forces à l'axo, ces équations sont distinctes de celles du n* 1497, qui ne dépendent nullement de ces distances. De plus , elles sont distinctes entre elles ; car si , par exemple, toutes les forces étaient situées dans le plan xOy, les deux premières équations seraient satisfaites puisque toutes les forces étant ou parallèles aux axes Ox, Oy, ou les rencontrant, leurs moments seraient nuis, et cependant l’équation 2Mo,F=0, pourrait ne pas être satisfaite.

l.îOO. Prouvons maintenant que toutes les conditions iV équilibre d'un système solide quelconque se réduisent aux six équations distinctes des iï“ 1497 et 1499.

Soient F', F ", F®... les forces qui sollicitent le système, et soient S et T les équivalentes de ce systôme(1399). Considérant trois axes Ox, Oy et Ox uon situés dans le môme plan :

1“ Les forces F', F", F''... satisfaisant aux conditions

leur résultante de translation est nulle (1497); la résultante de translation des équivalentes S et T est aussi nulle, ce qui no peut avoir lieu qu’autant que les deux forces S et T sont égales, parallèlles et de sens contraires, c'est-à-dire forment un couple (1392). Ainsi les sommes des projections des forces sué chacun des trois axes non situés dans un même plan étant nulles, les forces peuvent se réduire à un couple équivalent.

2“ Les forces F’, F'... satisfaisant à l’équation

la somme des moments des forces équivalentes S et T sera aussi égale à 0. L’équivalente S passant par l'origine des axes, son moment est nul;

Br FROTTEMENT. VLA* INCLINÉ. NSO

le moment de l’équivalente T doit donc aussi être nul ; ce qui ne peut avoir lieu qu’autant qu’elle est dans un même plan avec l’axe Oï.

L’équation

étant satisfaite. Il en résulte, comme dans le cas précédent, quo l’équivalente T est encore située dans un même plan avec l’axe Oy ; les deux équations précédentes étant réalisées, il en résulte doncqueT est dans le plan xOy, ou bien elle passe par le point O.

Enfin l'équation

lM,F=0

étant satisfaite en même temps que les précédentes, la force T doit être dans un même plan avec chacun des axes; ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la force T passe par le point O. Comme déjà S passe par ce point, ces deux forces se réduisent à une force unique. Ainsi lorsque les sommes des moments des forces par rapport à trois oses sont séparément milles, ces forces peuvent sc réduire à une résultante unique passant par F origine commune des axes.

Les forces satisfaisant à la fois aux six conditions

3Mo,F = 0, 2MO!,F=0, i'M„:F = 0,

il résulte du 1* que les deux équivalentes S et T peuvent être égales et de sens contraires, et du 2“, qu’elles passent par le même point O, et que par ronséquent elles sa réduisent à 0.

Ainsi, ces six équations étant satisfaites, la résultante de toutes les forces est nulle; son travail est donc nul , et par suite aussi celui de toutes les forces. On peut donc affirmer alors que, dans tous les mouvements virtuels compatibles avec la solidité du système , le travail des forces F est nul, et que par conséquent te système matériel, s'il est solide, ne peut prendre aucun mouvement ; il est par conséquent eu équilibre sous l’action des forces qui le sollicitent.