DU FROTTEMENT. PLAN INCLINÉ
1U07. Examinons le cas particulier où l’on suppose que le mobile n’est sollicité que par son propre poids et glisse sans frottement.
Dans ce cas , la force unique qui produit le mouvement est la composante P-sin a du poids, parallèle au plan ; l’accélération de vitesse du mobile est alors (1505, 1506)
, Pst«* P sin a J = — j£— = — p — = g nn a.
La vitesse acquise après le temps t est
v — g sin ut.
Après le temps t , l’espace parcouru est
E= ^ g sin ut*.
Si E est la longueur totale l du plan , et que l soit le temps que le mobile met à descendre du sommet du plan à son pied , on a
l=\- g si il a/% d’où t — \/ — ~ — . (3)
2 * ’ \ gsm* K l
Substituant cette valeur de t dans celle de r, il vient
v — g tin a V / — ~ — = <Jigl sin a.
J \ gsm a J
Remarquant que l sin » est égal à la hauteur h du plan (995), on a v = sj^gh.
Ainsi la vitesse que possède le mobile, quand il arrive au pied du plan incliné, est égale à celle qu’il aurait acquise en tombant verticalement de la hauteur h sous l'action unique de la pesanteur (1319).
Ce qui vient d’être dit pour la longueur totale l du plan incliné est applicable à une partie quelconque l' de cette longueur. Ainsi, quand le mobile a parcouru /', on a
v'= \Jïgh,'\
c’est-à-dire que le mobile ayant parcouru un espace quelconque suivant le plan incliné, il possède une vitesse v' égale à celle qu’il acquerrait en tombant librement de la hauteur h' dont il est descendu.
La valeur de v étant indépendante de l , on voit que des mobiles partant sans vitesse initiale d’un même point acquièrent tous la même
SEPTIÈME PARTIE, — MÉCAXiytE.
vitesse en arrivant à un même plan horizontal, quelles que soient les inclinaisons des plans suivis par les mobiles. SI la vitesse acquise est indépendante de l’inclinaison et par suite de la longueur du plan , il n’en est pas de même du temps que mettent les mobiles pour arriver au plan horizontal ; c'est ce que fait voir la formule (3).
Si le mobile avait possédé une vitesse initiale r„ , on en aurait tenu compte dans les formules (1) et (2), comme aux formules générales des n" 1310, 1311, et on aurait ensuite conclu, des nouvelles formules (1) et (2), ia vitesse après un parcours quelconque l\ comme ci-dessus.
Remarque. La durée de la descente étant
\/3C = \/-JL.
y g sut* V gl stn *
l’ig. 403.
on voit que cette durée est la même pour divers
plans inclinés donnant pour ^ une quantité constante; ce qui a lieu pour tous les plans dont les longueurs l sont en grandeurs et inclinaisons les
cordes AB, AC AU, AC.... d’une sphère ou
d’un cercle, aboutissant toutes aux extrémités d’un même diamètre vertical AA’.
En effet, si d’un point quelconque B de la circonférence d’un cercle on abaisse une perpendiculaire BK sur un diamètre AA’= D, on a (619)
h:i=st:D,
D — constante :
Eig. 404.
ce qu’il fallait démontrer.
1B08. Étant donné un plan BC, déterminer le plan incliné sur lequel devra se mouvoir le mobile partant de A sans vitesse initiale , pour qu'il arrive au plan BC dans le temps le plus court possible.
11 suffit de déterminer la ligne de plus grande pente du plan cherché. Pour cela, menant la verticale AB et la perpendiculaire AP au plan BC, la bissectrice AD de l'angle BAP est la ligne de plus grande pente cherchée. En effet, menons DO parallèle à PA , c’est-à-dire perpendiculaire à BC; du point O comme centre, avec OD pour rayon, décrivons une demi-circonférence ; elle passera par le point A; car les angles ADO et DAO étant égaux chacun à DAP d’après les constructions, le triangle ADO est isocèle, et on a OA = OD.
Cela établi , toutes les cordes menées par A dans le cercle seraient parcourues par le mobile dans le même temps que AD (1507); mais le
FORCES CENTR1FÈTE ET CENTRIFUGE. PENDULES. 547
plan BC étant tangent en D, tous ses points, autres que D, sont extérieurs au cercle, et par conséquent le mobile ne pourra les atteindre que dans des temps plus longs que celui employé & parcourir AD.
FORCES CESTRirÈTE ET CENTRIFUGE. PENDULES.
1809. Lorsqu’un mobile suit une circonférence ou seulement un arc de cercle, c’est qu’il est sollicité par une force indépendante de celles qui lui ont imprimé son mouvement actuel , et qui peut être la résultante de plusieurs autres. En effet , de l’action des forces primitives, il résulterait que le mobile se mouvrait en ligne droite, suivant la direction de la vitesse acquise, et d’un mouvement uniforme.
Ce qui suit s’applique au cas où le corps part du repos, comme à celui où il possède une vitesse rectiligne initiale.
1810. La résultante B des forces qui sollicitent actuellement le mobile se trouve évidemment dans le plan de la circonférence qu’il décrit. On peut alors la décomposer en deux : l’une , T, tangentielle à la circonférence, et qui modifie la vitesse du mobile; elle l'accélère ou la diminue selon qu'elle agit dans le mômesensque la vitesse initiale ou en sens contraire ; l’autre, C, agissant suivant le rayon de la circonférence décrite , et destinée à modifier, à infléchir à chaque instant le mouvement , de manière à le rendre circulaire, de rectiligne qu'il eût été sous l’influence de la vitesse initiale et de la composante tangentielle T. „
La direction de la composante C lui a fait donner le nom de force centripète, et sou efl'et l’a fait appeler aussi force infléchissante.
1811. Détermination de ta force centripète G en fonction de la masse m du mobile, de sa vitesse v à V instant considéré , et du rayon r de la circonférence qu'il décrit.
D’abord , si pendant l’instant infiniment petit 0 la vitesse v varie de la quantité infiniment petite dv, cette variation est due à la composante tangentielle T, qui a la même direction, et on a (1309, 133Û).
Revenons à la force centripète C. Soit A la position du mobile à l’instant considéré, et AA’— s l’espace infiniment petit qu’il parcourt pendant le temps infiniment petit 0. La projection du mobile sur le rayon AO décrit l’espace infiniment petit AB = st dans le même temps 0, et la figure fait voir que la vitesse initiale de la projection est nulle, puisque le premier élément de AA' étant perpendiculaire à OA , sa projection sur cette droite est un point.
Fig. «5.
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
Au point A la vitesse initiale tangentielle et la composante tangentielle T sont perpendiculaires à OA ; à ce même point la force centripète C agit suivant AO; or le chemin AA' étant infiniment petit, on peut supposer que pendant tout son parcours la vitesse initiale, la force T et la force C conservent par rapport à AO la même direction ; d’où il résulte que l’espace AB est parcouru uniquement sous l’influence de la force constante C, qui agit seule suivant AB (1359). Le mouvement suivant AB peut alors être supposé uniformément accéléré, et on a (1311, 1334).
Cette formule n’est rigoureusement vraie qu’autant que 9 et par suite s et j, sont infiniment petits; car autrement la force tangentielle T ne serait pas constamment perpendiculaire à AO, de même que la force C n’agirait pas constamment suivant AO, ni parallèlement à AO.
Puisque dans la formule précédente il entre des quantités infiniment petites, il faut les faire disparaître, afin qu’elle donne la valeur de C d’une manière évaluable.
On peut supposer que la vitesse moyenne g pendant le parcours de l’espace infiniment petit $ est égale à v ; ainsi
' ou *=j. (2)
L’arcf étant infiniment petit, il se confondavec sa corde, etona (619), en faisant AD = 2r,
. ; s = s ; 2r, d’où s* = 2«,. (3)
On pourrait éliminer les quantités s, f, et 9 entre les équations (1), (2) et (3), mais elles disparaissent en multipliant membre à membre ces trois équations; ce qui donne, en supprimant les facteurs communs.
mr* >
d’où
ni p*
Ainsi, à un instant quelconque, la force centripète est égale au double de la force vive que possède le mobile à cet instant , divisé par le rayon (1345).
Remarque. Lorsque la force tangentielle T est nulle, la vitesse v reste constante, et par suite aussi la force centripète; et réciproquement.
1312. En vertu du principe de la réaction égale et contraire à l’action (1381) , il résulte que la mobile exerce sur le point fixe une réaction
égale à — , et directement apposée à la force centripète ; c’est cette
FORCES CKKTR1PÊTK ET CENTRIFUGE. PENDULES. 519
réaction, que l’on nomme force centrifuge, qui fait que le mobile s’éloigne du centre suivant la direction du rayon quand on supprime tout à coup la force centripète. La fronde rend bien compte de cet effet.
1315. Appelant p le poids du mobile, on a ni= par forces centripète et centrifuge ont pour expression (1511)
suite les
d’où
Pv' 9r '
A étant la hauteur due à la vitesse v, on a (1319)
, r* . 2pA
h = Tg' et’ par sulte’ c= r •
La proportion précédente fait voir que les forces centripète et centrifuge sont chacune au poids du mobile comme la hauteur due à la vitesse du mobile est à la moitié du rayon de la circonférence qu’il décrit.
1314. Autres expressions de la valeur des forces centripète et centrifuge :
1" Le mouvement étant uniforme, et t étant la durée d’une révolution entière du mobile, on a
et, par suite,
2» w étant la vitesse angulaire du mobile (1462) , on a aussi
vs=*> r, et, par suite, C = wiw’r.
1313. Forces centripète et centrifuge quand le mobile , au lieu de suivre une circonférence ou un arc de cercle, décrit uiw courbe quelconque.
Considérant un arc infiniment petit AA' de la courbe décrite (Jig. 405), on peut supposer qu’il est tout entier situé dans un même plan , et qu’il est un arc de cercle ayant pour rayon le rayon de courbure r de la courbe à l’élément AA' (1148).
Ayant la masse m du mobile , le rayon de courbure r de la courbe au point considéré AA' et la vitesse c, les forces centripète et centrifuge en ce point sont encore (1511)
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
Ainsi, en donnant à r cette dernière signification, les expressions des forces centripète et centrifuge s'appliquent à une trajectoire quelconque.
1816. Applications :
1* lin mobile, qui est attaché à l’une des oxtrémités d’un fil dont l’autre est fixe, est mis en mouvement par une cause quelconque qui tout à coup cesse son effet ; on demande ce que devient alors la tension du fil, en négligeant la masse do ce fil, l’action de la pesanteur sur tout le système et la résistance de l’air 7
Le mobile n’étant plus soumis qu'à la vitesse acquise et à la force centripète, qui est alors la tension du fil, prend, normalement à ce fil, un mouvement uniforme, et si v est la vitesse acquise, ona,m étant la masse du mobile et r la longueur du fil.
Fig. 4Ù6.
2* Le mobile M, au Heu de n’être fixé qu’à un fil, est retenu par deux, MA et MA'; on demande quelles sont les tensions des deux fils, en négligeant la masse de ces fils, l’action de la pesanteur et la résislance de l’air, quand les forces motrices ont cessé leur action, c’est-à-dire quand le mouvement est devenu uniforme 7
. La circonférence décrite par M a pour rayon MO = r et son plan est perpendiculaire à AA'. La force centripète a pour intensité (1511)
mxr
De plus, elle agit suivant MO, et comme elle est la résultante des tensions des fils, si on la représente par MB, ses composantes MD = c et M£ = c' suivant les directions des fils MA et MA' sont respectivement les tensions de ces fils, et on a (1372)
* .vin (a 4- a') vin a' sin a ’
d’où
sin a' . sin a
C — C ~z — - — ; — -, et C = C-r— ;
.vin (« + «}’ ym(a + a')
La force centrifuge étant encore égale et contraire à la force centripète, il résulta du mouvement considéré, que les tensions des fils et par suite les tractions exercées par eux sur les points fixes A et A’ sont les mêmes que si le mobile était en repos, et que le point M , appartenant aux deux fils, fût sollicité par une force égale à la force centrifuge.
FORCES CENTRIPETE ET CENTRIFUGE. PENDULES
Fig. »#:
3” Supposons que le mobile M au lieu de se mouvoir dans un plan vertical tourne dans un plan horizontal perpendiculaire à la droite AA', et qu’il s’agisse de trbuver la tension de chacun des fils MA et MA', en négligeant toujours la masse de ces fils, mais en tenant compte du poids p du mobile M.
Conservant les mêmes notations que dans le cas précédent , on a toujours
L’axe M y étant perpendiculaire à la vitesse initiale et au déplacement, la somme des projections des forces c , c' et p sur cet axe est nulle 'I486) , et on a
c sin x — c' sin a' — p = 0.
De plus les tensions c et r', et le poids p ayant la force centripète pour résultante, considérant 0.r comme axe, la somme des projections do ces forces est égale la projection de la résultante, et on a
. , pu*
r cos a 4- c' cos a = - — .
Ces deux équations du premier degré entre les deux tensions c et c' donnent les valeurs de ces inconnues (456).
Dans le cas particulier où on arriverait à une valeur négative pour c', il faudrait remplacer le fil flexible A'M par une tige rigide, qui alors supporterait une pression égale à la valeur négative trouvée.
1317. Pendule conique. Supposons que le fil inférieur MA' soit supprimé, et que le mobile M tourne comme dans le cas précédent.
Quand le mouvement de M sera devenu uniforme, la somme des projections de la tension c et du poids p sur l’axe M y sera nulle (i486), et on aura, en désignant par » l’angle O AM,
Fig. io«:
p — ccos3— 0, d’où
V ; cos a'
Ce problème sc trouve réalisé par le pendule conique , dans lequel le fil AM est une tige rigide articulée 4 un manchon A, de manière 4 pouvoir tourner dans le sens vertical et 4 être entraîné, ainsi que le mobile M, par le manchon dans son mouvement de rotation horizontal.
Ce qu’il y a surtout d’important 4 déterminer dans le pendule conique , qui est destiné 4 régler le mouvement des machines d’après sa
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE
vitesse, c’est de déterminer la relation entre la vitesse angulaire de M Xlàpl) et l’angle *.
Or la tension c = et le poids p ayant la force centripète
C= ? w*r (151A) pour résultante, considérant Ox comme axe, la
somme des projections de ces forces étant égale à la projection de la résultante (1375), on a
— — sin a + 0 = - wV, d'où w* cos a g
g sin a r cos a.'
Faisant AM=L, longueur du pendule, on a
r — h sin a.
Remplaçant r par cette valeur dans la formule (1) , il vient
L cosa
OU w
= \PsI.
y Lcosa
Pour avoir la durée T d’une révolution entière du pendule, il suffit de remarquer que <o étant la vitesse angulaire, la vitesse du point M est <»r, et que par suite on a
ojr u>
ou , en remplaçant w par sa valeur,
T = 2- \J^~ = 2,006 v' LrôJZ
Quand la vitesse du manchon change, la rigidité de la tige AM fait que la vitesse du mobile M ainsi que *> varient de la même manière.
Comme dans la valeurV/;—^ — de»» il n’entre de variable que cos a,
y Lcosa t »
cette quantité étant en dénominateur, quand o> augmente, cos a doit diminuer et par suite a augmenter. Le contraire arrive quand <*> diminue.
On conçoit que l’on peut utiliser cette oscillation de la tige AM quand la vitesse varie , pour faire mouvoir l’organe qui Introduit la vapeur dans le cylindre d'une machine à vapeur, ou l eati sur une roue hydraulique, et par suite régler l’arrivée de ces matières motrices, de manière à obtenir une vitesse que l’on peut considérer comme constante dans la pratique.
Appelant l la hauteur AO= L cosa du pendule, on a
FORCES CENTRIPÈTE F.T CBXTR1FCGE. PENDUES
IJS18. Le mobile, au lieu de tourner dans un plan horizontal comme dans le pendule conique (1517) , décrit dans un plan vertical des révolutions dont le rayon est la longueur du fil OM ; on suppose que le mobile , qui a reçu une impulsion tangentielle initiale , . est soumis aux actions de la pesanteur et de la force centripète , et il s'agit, toujours en négligeant rinfiuence du fil et la résistance de Pair, de déterminer : 1* la vitesse y du mobile, quand celui-ci occupe une position quelconque M ; 2” la tension C du fil pour cette même position , sachant qu'au point culminant M„, sa vitesse, que l'on peut considérer comme vitesse initiale, était V0.
1° Le gain de force vive ^ ^ m».1 du mobile pendant le par-
cours M„M est égal à la somme des quantités de travail des forces qui sollicitent le mobile pendant le même parcours ;lù89 f. Ces forces étant la tension du fil et l’action de la pesanteur, comme la première est à chaque instant perpendiculaire au chemin parcouru, son travail est nul ; on a donc , en désignant par e la projection M„A du chemin parcouru M.M sur la direction verticale M„0 de la pesanteur,
d’où
1 ,1 , lt) , li) ,
- mv* — £ Hir.* ou “ 2 g' =pe'
rs=-i'., + 2 ge.
Expression dans laquelle tout est connu , et qui fait voir qu’en un point quelconque de la descente du mobile , le carré de la vitesse est égal au carré de la vitesse au point culminant plus le carré de la vitesse due <* la hauteurverticale dont le mobile est descendu (1319).
Au point inférieur M'. la vitesse étant v\ on a, en faisant OM=r,
v’.'^v.' + hgr.
Passé le pointM'. , le mobile commence à remonter, sa vitesse diminue, et on établit, comme pour la descente, que la vitesse en un point quelconque étant r’, on a, en faisant M'.A'=e', ou M'.A'= 2 r—e,
Remplaçant o'.* par sa valeur (1), il vient, en simplifiant , ti'* = t>„’ -f 2 ge.
SEPTIÈME PARTIE. — MÉCAMQI E.
Ce qui fait voir que non-seulement pendant la partie descendante, mais bien pour toute la révolution , le. carré de la vitesse en un point quelconque est égal au carré de la vitesse au point culminant, plus le carré de la vitesse due à la distance verticale du point considéré au-dessous du ftoint culminant. De plus, on voit qu’à une môme distance de ce point culminant , la vitesse est la môme , que le mobile monte ou descende ; on voit aussi que dans les hypothèses où nous nous sommes placés, c’est-à-dire en supposant qu’il n’y a ni frottement ni résistance d’air, le mouvement est uniforme périodique (1304); les révolutions sont de môme durée, et pour cette raison dites isochrones.
En un mot, i>„ étant la vitesse connue en un point quelconque de la circonférence, et v la vitesse en un point situé à une distance verticale quelconque e du premier, on a
r* = r„* + 2 ge ;
2 ge est positif ou négatif suivant que e est compté au-dessous ou au-dessus du point de départ.
Ce qui vient d’être posé est vrai pour tous les cas où un point matériel soumis à l'action de la pesanteur se meut sur une courbe quelconque qui ne lui oppose qu’une résistance normale (1489).
2“ Proposons-nous maintenant de déterminer la tension c.
La tension c et le poids p ayant pour résultante la force centripète, la somme de leurs projections surOM comme axe est égale à la projection de la résultante (1375), et on a
mvî
c + p cos b = .
Remplaçant m par?, et r1 par sa valeur v,l + îge (!•), il vient, en remarquant que cosu = rnL (964),
d’où
c-pp
p»„* 2 pe
~gr r ’
Expression dans laquelle tout est connu, et qui fait voir que les valeurs de t’.* et de e peuvent être telles que la tension c soit négative; c’est alors une compression, et le fil doit être une tige rigide.
Les formules précédentes s'appliquent à toutes les positions du mobile autour du point O, pourvu que « soit toujours l’angle du fil OM avec la partie OM„ du diamètre vertical, ce qui fait varier en consé-
quence le signe de cos a et par suite celui de p cos a = p .
FORCES CENTRIPÈTE ET CENTRIFUGE. PENDULES
lo!9. Prndulc simple. Supposons que, comme dans le cas précédent, lo mobile se meuve dans un plan vertical ; mais qu'au lieu de lui imprimer une vitesse initiale capable de lui faire décrire une révolution entière, on ne fasse que l'écarter de la position verticale OM'. , et qu'on l’abandonne à l'action seule de la pesanteur.
Négligeant la résistance de l'air et le frottement, on calculerait la vitesse du mobile en un point quelconque de sa course comme dans le cas précédent, en remarquant que la vitesse «. est nulle. Ainsi le mobile étant arrivé au pointM de sa course, c’est-à-dire ayant parcouru l’espace vertical AA'= e, on a
t>* = 2<7e ou v = y'2 ge.
Arrivé au point inférieur M'„ de sa course, le mobile décrirait à gauche de OM'0 un arc égal à puis redescendrait pour remonter en M. et redescendre de nouveau , et ainsi de suite , eu reprenant toujours la même vitesse en un même point; d'où il résulterait à l’infini des oscillations égales en amplitude et en durée.
Dans la pratique, il n'y a que pour de très-petites oscillations que l’on peut négliger l'influence du frottement et la résistance de l’air sur le mouvement ; aussi est-ce pour ce cas, et en négligeant la matière de la tige , que nous allons déterminer la durée do l’oscillation de cette machine élémentaire, appelée pendule simple.
Supposons qu'arrivé au point M le mobile parcourre l’élément infiniment petit MM' dans l’instant infiniment petit 0; on aura (1305. 1319)
Fie. 410.
MM' or— ,, .
* = — = V%ë. d où
