CHOC DES CORPS SOUDES

1325. Tant que deux corps solides eu repos ou en mouvement sont à distance, les actions mutuelles qu’ils exercent l'un sur l’autre sont négligeables; mais si, en vertu de vitesses acquises sous l'influence de causes quelconques, ils tendent à occuper au même instant une même partie de l’ospace, dès qu’ils arrivent à être ce que l’on appelle en contact, il se déclare des actions mutuelles répulsives qui atteignent un degré suffisant d’intensité pour modifier en grandeur ou en direction, ou 4 la fois en grandeur et en direction les vitesses primitives des deux corps, de manière que ceux-ci ne viennent pas occuper la même portion de l’espace au même instant , et par là satisfont à la loi générale de Y impénétrabilité de la matière (1382).

Lorsque deux corps se rapprochent ainsi de manière à donner naissance à ces actions mutuelles par leurs changements plus ou moins sensibles de formes, on dit qu’il y a choc ou collision entre les deux corps.

1324. Du principe de la réaction égale et contraire à l’action (1381), il résulte que les actions mutuelles qui se développent pendant le choc de deux corps sont égales et directement opposées, et elles n'iiifluent en rien sur le mouvement du centre de gravité du système, mouvement qui ne dépend en intensité et en direction que des forces extérieures (1488).

1323. Vitesse du centre de gravité de rensemble de deux corps solides après leur choc.

Supposons le cas ■ le plus simple, celui où les centres de gravité des deux corps se meuvent suivant une même droite, par raporl à laquelle les deux corps sont symétriques. C’est à ce cas que l’on ramène les applications pratiques sur le choc.

Le centre de gravité de l'ensemble se mouvra sur la droite suivie par

CHOC UES cours SOLIDES.

les deux corps, comme si le choc n'avait pas lieu (1524). De plus , il est évident que la vitesse de chacun des corps en particulier ne change pas de direction, mais bien d'intensité, et même l’une peut changer désigné.

Soient m et m' les masses des deux corps, v et v' leurs vitesses respectives avant le choc , et u la vitesse du centre de gravité.

Dès que le choc commence, les actions mutuelles égales agissent en sens contraire sur chacun des mobiles , et produisent des changements de formes et des vibrations qui dépendent de la nature et de la forme des corps.

Si la vitesse relative des deux corps l’un par rapport à l’autre est faible, et que les corps aient une certaine consistance, on peut admettre que le changement de forme pendant le choc s’étend à peu de distance du point do contact , et que les vibrations des molécules sont très-faibles ; d’où il résulte que le mouvement de toutes les molécules de chacun des corps peut être considéré comme n’étant qu’un simple mouvement de translation , qui est le même pour toutes les molécules.

En se plaçant dans cette hypothèse, V étant la vitesse commune à tous les points et au centre de gravité du solide de masse m à un instant quelconque du choc, et V' celle de tous les points et du centre de gravité du solide de masse m! au même instant, on a (1487), en négligeant pendant le choc les impulsions des forces extérieures, s’il y en a, ce que l’on peut faire, la durée du choc étant très-petite,

mV + m'\’ — mv -f »iV,

Il y a toujours pendant le choc un instant où les centres de gravité des deux corps ont la même vitesse, qui est aussi la vitesse u du centre de gravité du système ; à cet instant , l’équation précédente devient

{m + m^u — mv + m'v',

d’où

mv -f m'v' m 4- ni'

u est la vitesse du centre de gravité, et sensiblement aussi celle de tous les points du système à l’instant considéré, dans le cas de très-faibles vibrations.

Lorsque les deux corps ne sont pas élastiques , c'est-à-dire quand ils conservent les formes que des forces quelconques peuvent leur donner, les actions mutuelles cessent leur effet dès que la vitesse u est devenue commune aux deux corps ; alors les deux corps se meuvent en restant en contact, tant que des forces extérieures ne viennent pas modifier leur vitesse comme u.

Les formules précédentes s’appliquent aux cas où les corps marchent en sens contraires , comme à celui où Ils vont dans le même sens ; seulement il faut avoir égard aux signes qu’il convient de donner aux

■GO

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

valeurs de v et v, et par suite à celles de m e et ni'v'. Le signe de u est toujours celui de la plus grande quantité de mouvement

Si les deux quantités de mouvement sont égales et de signes contraires, la formule précédente denne u = 0; ce qui montre que les corps arrivent au repos , et y restent s'ils sont dénués d'élasticité.

1U26. Perte de force vive due au choc de deux corps non élastiques.

Si les corps restent unis après s’ètre comprimés , et qu’on néglige les vibrations auxquelles peuvent être soumises les molécules des deux corps , il est évident qu’il y a perte de force vive dans le système, puisque , pendant la compression des deux corps , et jusqu’au moment où la même vitesse est devenue commune aux deux corps , les molécules voisines du contact se sont rapprochées, et par suite les actions mutuelles répulsives de ces molécules ont produit un travail négatif, d’où il est résulté une perte de force vive (2°, 1A89).

Le travail dû aux forces moléculaires, et par suite la perte de force vive du système ne dépendant que du mouvement relatif des deux corps, il en résulte que pour calculer cette perte on peut supposer que l’un des corps est en repos, et que l’autre vient le choquer avec une vitesse absolue égale à la vitesse relative du système.

Soit donc u la vitesse de la masse choquante m , et r’ = 0 la vitesse de la masse choquée m'.

La force vive du système avant le choc est - me*. Après le choc,

toutes les molécules des deux corps ayant la même vitesse u, à cet instant la force vive du système est

La perte de force vive due au choc est alors

2Wl 2 + "0“ •

Remplaçant dans cette expression u par sa valeur en remarquant que u' = o (1525), la perte de force vive devient

m 4- rn

ou, en réduisant au même dénominateur et en simplifiant,

1 mm'v*

Comme nous l’avons dit plus haut , cette formule s’applique également aux cas où les corps ont tous deux une vitesse initiale avant le

MACHINES

choc ; mais alors il faut dans cette formule faire v égal à la vitesse relative des deux mobiles ; ainsi , selon que les deux mobiles avanceront dans le mémo sens ou en sens contraires avant le choc, v sera égal à la différence ou à la somme des vitesses que possèdent les mobiles avant le choc.

MACHINES

1327. Une machine est un système matériel composé de différents corps ou organes tellement reliés entre eux, que tout mouvement de l’un , compatible avec la solidité du système, entraîne des mouvements relatifs déterminés pour chacun des autres. Son but est de transmettre le travail des forces.

. Les mouvements relatifs des différents organes d’une machine ne sont pas seulement déterminés en direction, mais aussi en intensité. Généralement, les mouvements sont périodiques uniformes (1304), et la vitesse est mise en harmonie avec les exigences des travaux industriels à produire , sans que jamais elle atteigne la limite à laquelle la solidité de la machine serait compromise.

1*>2«. Sur une machine en mouvement agissent différentes forces que l’on peut diviser en trois classes :

1“ Les forces mouvantes on motrices. Ce sont les forces qui agissent dans le sens du mouvement des organes qu’elles sollicitent ; c’est par conséquent à elles qu’est dû le mouvement de la machine ;

2“ Les résistances utiles, qui sont les forces que les matières sur lesquelles opère la machine opposent au mouvement des organes qui les sollicitent ;

3" Les résistances passives ou nuisibles, ou les forces qui naissent du mouvement des différents organes de la machine pour s’opposer à ce mouvement; elles sont dues au frottement des différents organes entre eux ou sur des corps étrangers , aux chocs qui peuvent avoir lieu entre les différents organes par suite de changements brusques de vitesse ou de direction , à la raideur des cordes ou courroies , etc.

ii>29. Considérant les forces motrices comme positives , puisqu’elles agissent dans le sens du mouvement, les résistances utiles et les résistances nuisibles sont négatives. Par conséquent , si l’on suppose le système animé d’un mouvement uniforme, lasomme des travaux de toutos les forces pour un temps quelconque sera nulle , puisque le gain ou la perte de puissance vive est nulle, et on aura (1489)

Tm— Tu— 3Tn = 0 ou Tm=T„+Tn;

ce qui fait voir que le mouvement étant uniforme, le travail moteur Tm dû aux forces motrices est égal au travail utile V,, dû aux résistances utiles, plus le travail nuisible ’M\ dû aux résistances passives.

3 fi

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Réctjtroquement, si, à chaque instant, cotte équation subsiste, le mouvement est uniforme; car la vitesse ne peut varier qu’autant que la somme des travaux do toutes les forces n’est pas nulle.

Lorsque dans une machine celle formule existe, on dit qu'il y a v équilibre dynamique.

iifôo. Quand le mouvement d’une machine est uniforme périodique, le gain ou la perte de force vive n’est nul que pour la durée d'un nombre entier de périodes; pour co temps, on a encore

Tm = T„ + T,.

On dit alors que la machine est en équilibre dynamique périodique; c’est l’état ordinaire des machines , non-seulement à. cause de la forme de leurs organes, mais aussi à cause des variations plus ou moins grandes des forces motrices et surtout des résistances.

lbôl. Impossibilité du mouvement perpétuel. Dans le cas où ou néglige les résistances passives , la formule précédente devient

Tm - 'l'u.

Ce qui fait voir que le travail utile 3C„ est égal au travail moteur 3Tm.

11 est impossible de réaliser ce résultat dans la pratique; car, dans une machine quelconque , il y a toujours des résistances passives qui diminuent le travail utile.

Le travail nuisible, inévitable, des résistances passives fait voir l’impossibilité d'obtenir le mouvement perpétuel. Que cette vérité n’a-t-elle été mieux répandue plustOt, et que ne l’est-elle davantage encore aujourd'hui ; elle aurait évité et éviterait bien des déceptions à de pauvres malheureux qui croient ce mouvement réalisable!

11 est évident que s'il n’y avait pas de résistances passives, c’est-àdire si l’on avait 3T» — Vu, on pourrait obtenir le mouvement perpétuel, puisque, par exemple, à l’aide d’une quantité d'eau tombant d’une certaine hauteur, on pourrait en élever une même quantité à la même hauteur ; ceile-ci pourrait ensuite faire monter la première à la même hauteur, puis la première élever la seconde, et ainsi de suite indéfiniment. Un pendule écarté du la verticale oscillerait indéfiniment sans la résistance de l'air et le frottement de son point d’oscillation (1519).

41132. P étant la force motrice agissant sur une machine quelconque, et Q la résistance utile vaincue par cette machine, E et e étant les espaces parcourus par les points d’application de P et Q dans la direction de ces forces et dans un môme temps quelconque, au commencement et h ia fin duquel la vitesse de la machine est la môme, l’équation d’équilibre dynamique donne , en supposant nullcs les résistances passives,

P x E = Q x c ou P : Q = e : E.

MACHINES

De l’égalité entre le travail de la puissance et celui de la résistance, il résulte que pour un même travail moteur P x E, selon que la force Q 1 1

sera multipliée par - , - , 2, 3... l’espace e sera respectivement divisé

par les mêmes nombres ; d’où découle la maxime bien connue,- Ce qu'on gagne en force, on le perd en espace , ou, po qui revient au même, en vitesse.

La proportion précédente permet de calculer l’une quelconque des quatre quantités P, Q, E, e, quand on connaît les trois autres.

Pour une machine quelconque, simple ou compliquée, s’il s’agit de trouver quelle est la résistance y que pourra vaincre une puissance P, ou détermine les espaces E et e parcourus dans le même temps par les points d'application des forces P et y. E et e sont quelconques si ces points d'application ont des mouvements uniformes; mais on les prend correspondants à une période si le mouvement de la machine est périodique. Lorsque la machine est construit^, c’est en la mettant en mouvement d’une mauière quelconque que l’on détermine les valeurs de E et e. Lorsque la machine n’est qu’eu dessin, d’une valeur de E, on déduit celle do e d’après les rapports des espaces parcourus par les différents organes qui transmettent le mouvement du point d’application de P à celui de y.

Supposons que la résistance à vaincre y = 100k, et qu’il s’agisse do déterminer quelle sera la puissance P en négligeant les résistances passives. On détermine les valeurs correspondantes de E et e comme il vient d’être indiqué, soit E= 2", 5 et e = 0“,80; puis on remplace les lettres par leurs valeurs dans la proportion précédente, ce qui donne

p : ioo‘ = 0,80 : 2,5, d’où

Si l'on avait donné la puissance I’, on aurait déterminé Q en opérant comme pour P.

11535. Pour avoir la force théorique en chcvaux-mpcur, il suffit de constater le temps pendant lequel l’espace E ou e est parcouru , quand la machine est eu marche normale ; les produits égaux P x E et 0 x e donnent chacun le nombre de kilogram mètres produit par P ou absorbé par 0 dans ce temps. Divisant ce nombre de kilogrammètres par ce temps exprimé en secondes, on a la puissance de la machine exprimée en kilogrammètres par secondes. Ce nombre do kilogrammètres, divisé par 75, donne la puissance de la machine en chevaux (1353). Si, dans l’exemple précédent, E et c sont parcourus en 1",5, PxE = 32 x 2,5 = Q x c = 100 x 0,80 = 80Vm est le nombre de kilognnunè-

très produit et absorbé en i",5; ry = 63k01,33 est la puissance do la

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