SR

machine en kilogrammètres par seconde, et = 0.71 est sa puissance en chevaux-vapeur.

1554. Souvent, dans la pratique, on a la puissance dont on peut disposer en chevaux-vapeur ; supposons qu’elle soit de 25 chevaux. Pour calculer Pet Q, on commence par déterminer E = 5“ et e = 0™,8 , comme il a été indiqué (1532). La durée de ces parcours étant i",£i, le travail de la machine dans ce temps est de 75 x 25 x i,ù = 2625k,,, ; donc

PXE = Px3= 2G25, d’où P = —5— = 875k.

Ayant P, on peut calculer Q à l’aide de la proportion du n* 1532 ; du reste, on a en core

Q X e = Q x 0,8 = 2625, d’où Q = ~ = 3281k,25.

1333. 11 peut arriver qu’au lieu d’avoir une seule force motrice, on en

ait plusieurs P, P’, P" et que l’on ait aussi plusieurs résistances

utiles O , Q'. O" Constatant , comme pour deux forces , les espaces

E, E', E"..... et e, c', c"..... parcourus dans le même temps par les points d’application des forces dans la direction de ces forces, l'équation

Tm=Tu, (1531)

au lieu de fournir l’équation du n° 1532, donne

P x E + P’ x E' + P" x E" + = Qxe + 0'xe'+Q"xe"+

Équation à l’aido de laquelle on déterminera une de ses quantités connaissant toutes les autres. Les membres de cette équation donnent chacune le travail théorique produit ou absorbé pendant la durée du

parcours des espaces correspondants E, E'..... e,e' Connaissant

cette durée , on déterminera le travail théorique en kilogrammètres produit ou absorbé pendant une seconde, et ce dernier travail divisé par 75 donnera la puissance en chevaux-vapeur (1535). Si l’on avait d’abord donné la puissance en chevaux, par des calculs inverses à ceux que nous venons d’indiquer, le problème aurait fourni, soit pour P, P'..... E, E' soit pour Q, Q' c, e! une infinité de valeurs sa-

tisfaisant à l’équation ; mais les valeurs choisies auraient toujours dû donner, pour le premier et pour le deuxième membre de l’équation , une valeur correspondant à 25 chevaux ou à 25 x 76 = 1875km par seconde.

1356. Dans les machines, surtout dans les machines industrielles , les*résistances passives sont assez considérables pour que l’on ne puisse négliger le travail qu’elles absorbent ; l’équilibre dynamique de la machine est alors exprimé par

MACHINES

»tt5

T„ = Tu + 'M\. (1629)

Pour un certain déplacement de la machine , les travaux T„ , Tu et Tn s'évaluent comme dans le cas précédent ; ainsi , P étant la puissance, Q la résistance utile, R, R'.. .. les différentes résistances passives , et E , e, i, i'..... les espaces correspondants parcourus dans le même temps par les points d’application dans la direction de cos forces , on a

PxE = Qxe + Rxt-fR'xi' +

Équation qui revient à celle du n” 1535, dans laquelle on aurait remplacé différentes résistances utiles par des résistances nuisibles.

Il peut arriver qu’une ou plusieurs résistances nuisibles proviennent de chocs entre les organes de la machine. Le travail absorbé par ces résistances n’est plus évalué par un produit d’une force par l’espace que parcourt son point d’application , mais par la perto de force vive due au choc , et cette perte , évaluée en kilogrammètres (1526) , entre dans le second membre de l’équation comme tous les autres travaux nuisibles R x i , R’ x t

A l’aide de l’équation précédente , connaissant , dans une machine , deux des trois travaux suivants : le travail moteur Tm — P x E, le travail utile Tu — Qx e, et le travail nuisible T„ = R x i + R’x on détermine le troisième.

1837. On sc propose ordinairement d’établir une machine capable de produire un travail utile T, = Qxc donné. Il faut alors déterminer Vm ~ P x E capable de produire non-seulement ce travail utile, mais aussi le travail nuisible. On doit commencer par calculor ce travail nuisible ; ce que l’on fait en déterminant les valeurs des différentes résistances nuisibles R, R' en fonction de 0. et par suite T. en fonction de Tu.

Ayant T„ et T„ , l’équation du n° 1536 donne T,„ , et on peut déterminer le travail moteur en chevaux comme au n° 1533.

1338. Le travail moteur Tm étant représenté par 100, les travaux utile T„ et nuisible T„ étant, par exemple, 75 et 25, on dit que le rendement est de 75 pour cent; la perte est alors de 25 pourcent. S’il était possible que la perte fût nulle , le rendement serait de 100 pour cent (1531).

ce qui précède fait voir l’importance que joue la formule de l’équilibre dynamique dans l’établissement des machines. Que de procès souvent désastreux sont dus à ce que cette formule n’ayant pas été convenablement comprise, des machines établies n’ont pas produit le travail qu’on en attendait.

Au point où l’on en est aujourd'hui, la pratique a prononcé sur la quantité de travail nuisible T„ qui a lieu dans les différentes machines industrielles , et on se base généralement sur ces résultats dans les con-

56(i SEPTIÈME PARTIE. — MÈCAMQCB.

structlons nouvelles , tout en cherchant à diminuer cette perte autant que possible.

Il y a cependant des cas où 11 peut être nécessaire de se rendre compte de cette perte; c’est pourquoi nous allons établir les équations d’équilibre dynamique des différentes machines simples, en ayant égard aux résistances passives. De ces équations, on pourra passer à celles des machines les plus compliquées, qui no sont en général que la réunion d’un certain nombre de ces machines simples.

li>.”0. Travail absorbé par le frottement cPun corps qui glisse sur un autre. P étant la pression normale à la surface do contact des deux corps, le frottement est /P (1504), et pour uu espace E parcouru par chacun des corps relativement à l’autre, le travail absorbé est /PE (1343).

1 dit). Travail absorbé par le frottement d'un tourillon sur son coussinet.

P étant la réaction normale commune du tourillon et du coussinet , le frottement est /P, comme dans lo cas précédent. Le travail absorbé par ce frottement est encore égal à/P multiplié par l’espaco parcouru ; ainsi , pour une révolution complète du tourillon , r étant le rayon de ce tourillon , le travail absorbé est

T=fV X 2r.r = 2.-//P.

1S11. Travail absorbé par le frottement de la face horizontale AB d'un pivot sur sa crapaudinc.

Soit P la pression normale du pivot sur la crapaudine. On peut admettre que cette pression se répartit uniformément sur tous les éléments de la surface de contact ; alors lo travail total dû au frottement est égal à la somme des travaux dus aux frottements élémentaires de tous les éléments de la surface do contact.

Concevant la surface de contact divisée en éléments infiniment petitspardes rayons, chacunde ces éléments peut être considéré comme étant un triangle. Considérant un de ces éléments triangulaires , le frottement agit avec la mémo intensité en chacun de ses points et suivant des directions que l’on peut, à la limite, considérer comme étant parallèles entre elles.

La résultante de tous ces frottements parallèles est égale à leur somme, et son point d’application est situé au centre de gravité du triangle élémentaire , c’est-à-dire aux deux tiers du rayon à partir du centre (1444). Le travail absorbé par cette résultante est égal à celui

Fig- ««».

absorbé par sus composantes , et il ast, pour une révolution du pivot dont r est le rayon de la surface frottante ,

2 li

fpx 2- x g r=fp x 3 w ;

V pression normale sur l’élément triangulaire;

/ coefficient de frottement ;

fp frottement de l’élément triangulaire ;

2~x - r espace parcouru par le point d’application de la résultante de frottement pour une révolution du pivot.

Tous les éléments triangulaires rjui composent la surface frottante du pivot donnent chacun le même frottement et le mémd travail absorbé. Le travail absorbé par le frottement do fout le pivot est égal à la somme de tous ces travaux partiels, et il est, P étant la pression totale du pivot sur la crapaudine,

V — fP x | w=| :rr/P.

Le travail absorbé étant proportionnel à r, on le diminue en arrondissant les surfaces en contact, comme l’indique la figure ùll.

tiLiS. Travail absorbé jmr le frottement de ta. surface plane d'un

collet.

r étant le rayon extérieur du collet et r’ son rayon intérieur, appelant p son rayon moyen et l la largeur r — r1 de la couronne , on a

r = p+2 et r=p— 2-

La surface de la couronne étant

r*) = « [ (p + Q - (p - Q *] = 2 r.pl ,

et celle du cerclo do rayon r',

l’ étant la pression sur la couronne, en supposant que la pressiou varie proportionnellement à la surface, la pression qui s’exercerait sur le cercle de rayon r' est

P*+ J-Pf

La pression qui aurait lieu sur le cercle de rayon r est

SEPTIÈME PARTIE. — «fl&CASIQUK.

P* + 4 + f l fy—'

Le travail absorbé par le frottement de la couronne est égal au travail absorbé par le frottement qui aurait lieu sur la surface totale du

cercle de rayon r = p + ^ , moins celui qui aurait lieu sur la surface du cercle de rayon r'— p — il est donc (1541)

T=r'p--ir-

ir,pelliza

ou , en effectuant les calculs et simplifiant,

V=J Px2

Application. Soit à déterminer, pour une révolution , le travail absorbé par le frottement du collet d’un arbre en fonte graissé d’huile , contre la joue latérale d’un coussinet en bronze; la pression P du collet contre la joue du coussinet étant de 55 kllog., le grand rayon r, 0“,06, et le petit r', 0”,05.

On a p = ^£®±MÊ = o»,055, 1= 0,06 — 0,05 = 0“, 01,

et (1504) /=0,08.

Remplaçant alors les lettres par leurs valeurs dans la formule (a), il vient

1343. Travail absorbé par la roidcur des cordes.

Lorsqu’on vainc une résistance 0 au moyen d’une corde qui s'enroule sur une poulie ou sur un tambour, la puissance P doit, pour l'équilibre dynamique, vaincre non-seulement la résistance Q et le frottement des tourillons, mais aussi une résistance due à la roideur de la corde, et dont l'effet consiste à infléchir la corde.

Appelant R cette résistance, ou mieux la force qui , d’après les expériences, ert agissant à très-peu près tangentiellement au cylindre sur lequel s’enroule la corde , fait équilibre à cette résistance, l’équilibre dynamique donnera, pour un tour do poulie, en négligeant les frottements et en appelant D le diamètre de la poulie et d celui de la corde (1536),

ÉytlLlBRK DVNAMiyUs UES MACUWKS SIMPLES.

3Tm =Pxi(D + (i) = Qxi:(D + ii) + KX)!D,

d’où l’on tire

Coulomb a fait quelques expériences pour déterminer la valeur île K . Ravier, de la discussion des résultats obtenus par cet expérimentateur, a conclu l’expression suivante pour la valeur de H ,

K=-(adV-+bdV-Q). (a)

adP quantité constante pour une môme corde; bd'1 Q quantité proportionnelle au poids élevé Q ;

P nombre qui varie avec l'usé de la corde.

Les expériences de Coulomb sont insuffisantes pour fixer la loi de variation de (i ; cependant Ravier fait p = 2 pour les cordes neuves d’un grand diamètre, p = 1,5 pour les cordes plus qu’à demi usées, et <x=l pour les petites ficelles très-flexibles.

Des auteurs ont admis (ce que ne confirme pas le tableau suivant dit aux expériences de Coulomb) que pour une même résistance utile O, la résistance due à la roideur d’une corde blanche varie en raison inverse du diamètre do la poulie ou du tambour, et qu’elle est directement proportionnelle à la puissance p du diamètre de la cordo.

De celte hypothèse il résulte que pour deux cordes de diamètres différents s’enroulant sur deux poulies de diamètres inégaux , et élevant des poids égaux , on a

R' résistance due à la roideur de la corde do diamètre d', s’enroulant sur la poulie dont le diamètre est D’;

R résistance due à la roideur de la corde de diamètre d, s’enroulant sur la poulie dont le diamètre est D.

Pour les cordes goudronnées, la roideur ne varie pas sensiblement avec le degré d’usé, et il est plus exact de remplacer, dans la formule

précédente, le rapport par celui jj-, ri et n exprimant les nombres de fils de caret que contiennent les deux cordes ; ee qui donne

Pour les cordes blanches mouillées, Navier admet que la roideur constante ad est double de colle des mêmes cordes sèches, mais que

SEPTIEME PARTIE. — MÉCANIQUE

la roideur bd? est la même que pour ces dernières. Les expériences no paraissent pas assez nombreuses pour conclure d’une manière générale à cet égard.

Tableau de la roideur de différentes cordes s’enroulant sur une poulie de 1 mèlr« de diamètre , calculée par Xavier, d'après les expériences de Coulomb.