ÉQUILIBRE DES CORPS PLONGÉS OU FLOTTANTS

Ii574. Lorsqu'un corps est plongé en totalité ou en partie dans un fluide pesant, en repos, les pressions que celui-ci exerce normalefnent à la surface du corps ont vue résultante unique égale et directement opposée au poids du fluide déplacé. En effet, comme rien ne serait changé aux pressions si le corps plongé était remplacé par le fluide qu'il déplace , et qu'il est évident que ce fluide ne peut être en équilibre qu’autant que les diverses pressions qui le sollicitent ont pour résultante une force égale et directement opposée à son poids , cette résultante étant verticale, il en résulte que tout corps plongé en totalité ou en partie dans un fluide en équilibre perd de son poids le poiils du fluide déplacé. Ainsi un corps suspendu à un fil exerce, dans le vide , sur ce fil, une traction égale à son poids; mais si on l'abaisse de manière qu’il vienne plonger dans un liquide, il perd de son poids une portion égale au poids du liquide déplacé, et la tension du fil diminue de la même quantité. Si le poids du corps est moins graud que celui d’un égal volume du liquide, il s'enfonce jusqu’à ce que le poids du liquide déplacé soit égal au sien, puis il reste flottant, et la tension du fil qui le suspendait devient nulle. Si le corps est plus dense quo le fluide, il s'immerge complètement , et la tension du fil est égale à l’excès du poids du corps sur celui de l’égal volume de liquide. Supposant le fluide homogène en tous ses points , la perte de poids d’un corps entièrement submergé est la môme, quelle que soit la profondeur à laquelle il se trouve dans le liquide; ainsi la tension du fil qui le suspend reste constante, et si l'on coupe le fil, le corps se précipite au fond du vase contenant le liquide , et s'y repose en exerçant une pression verticale égale à la tension du fil . c’est-à-dire égale à la différence entre son poids et celui du liquide déplacé.

Ce qui vient d'ètro dit s'applique à un fluide pesant quelconque; ainsi un corps pesé dans l'air accuse un poids trop faible d’une quantité égale au poids de l’air déplacé par le corps, moins celui de l'air déplacé par les poids qui sont dans l’autre plateau de la balance. Cette perte est négligeable dans la pratique.

Ii>7<5. De ce qui précède, il résulte qu’un corps libre entièrement plongé dans un fluide n’est on équilibre qu’autant : 1" quo son poids est égal à celui d'un égal volume du fluide ; 2” que le centre de gravité du corps et celui de son volume sont situés sur une même verticale. L'équi-

ÉCOULEMENT PERMANENT ü’iJN FLUIDE, ETC.

libre est stable si le premier centre de gravité est au-desscus du second ; 11 est instable dans le cas contraire.

Pour l’équilibre d’un corps flottant, il faut : 1" que son poids soit égal à celui du liquide déplacé ; 2“ que le centre de gravité du corps et celui du volume de la portion immergée soient situés sur une même verticale. L’équilibre est encore stable si le premier centre de gravité est au-dessous du second ; mais cette condition , toujours suffisante , n’est pas nécessaire.

1576. C’est parce qu’un corps plongé dans un fluide perd de son poids exactement celui de fluide déplacé , qu'un corps moins dense que le fluide dans lequel il est plongé s’élève; un morceau de liège tenu sous l’eau devenant libre, il vient à la surface; un aérostat s'élève dans l’air jusqu'à ce que son poids soit égal à celui de l’air qu’il déplace; c’est aussi ce qui fait qu'un corps plus dense que le fluide descend au fond quand on l'abandonne à lui-même.

ÉCOULEMENT PERMANENT D’UN FLCIDE A PRESSION CONSTANTE, SORTANT d’un VASE PAR UN PETIT ORIFICE.

1377. Le mouvement d’un fluide est dit permanent (le régime est permanent) , lorsque les hauteurs des niveaux ou mieux les pressions , les aires des sections transversales et les vitesses du fluide en chacun des points de ces sections sont constantes.

De la nature propre des fluides , les molécules étant contiguës les unes aux autres sans interruption , ce que l’on exprime en disant qu’il y a continuité du Jluide, il résulte que pour les liquides, que l’on peut considérer comme étant incompressibles , il passe dans chaque section le même volume de fluide à chaque instant quand le régime est permanent.

Pour les gaz, la permanence du mouvement exige bien, comme pour les liquides, que le même poids de fluide passe dans chaque tranche dans le même temps; mais les pressions étant variables d’une section à une autre, il en résulte que les volumes écoulés sont variables pour chaque tranche.

1378. Hypothèse du parallélisme des tranches. Afin de pouvoir analyser les phénomènes de l'écoulement des fluides, on a été obligé de supposer le parallélisme des tranches , c’est-à-dire d’admettre que tout le volume fluide est composé de tranches très-minces, normales à la direction du mouvement du fluide, se mouvant en restant constamment parallèles à elles-mêmes, conservant toujours le même volume et no faisant que s'élargir ou se rétrécir, suivant que le vase dans lequel elles se meuveut s'élargit ou se rétrécit. La vitesse du fluide est la môme en tous les points de chaque section.

On conçoit que ces hypothèses ne sont à peu près réalisées que dans

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

le cas où le fluide se meut dans des vases, des canaux ou des tuyaux de conduite dont la forme contiuue et régulière ne varie que par degrés

insensibles.

ii>7t) Théorie de l'écoulement permanent d'un liquide conservant un niveau constant dans le vase qui le contient.

Supposons que les parois du vase sont continues et tellement raccordées avec l’orifice d’écoulement, que l’on puisse, si cela était entièrement possible, considérer le parallélisme des tranches comme réalisé; ainsi , l’on peut supposer quelçs vitesses sont égales et parallèles entre elles en tous les points de l’orifice d’écoulement, ainsi qu’en tous ceux de chacune des autres sections normales 4 la direction du mouvement

Iteprésentons par :

la surface de la tranche snpérieure An du liquide ; la vitesse avec laquelle tous les filets traversent cette tranche ;

l’aire de l’orifice d’écoulement ab ; la vitesse des filets fluides à cet orifice ; le poids du mètre cube de liquidé; la différence de niveau de la seotion AB et du centre de gravité de l'orifice ab; la pression par mètre carré sur la section AB; la pression par métro carré sur la face extérieure du plan ab;

le temps très-court que met chaque tranche pour quitter sa position- et prendre celle de la tranche équivalente consécutive; m la masse de chaque tranche, et q son poids ; r. la vitesse initiale (qui peut être la même ou différente pour chaque point du fluide) des différents éléments matériels fluides au commencement du temps 0 ;

v, la vitesse des divers points matériels fluides après le temps 0.

Appliquant au système matériel considéré l’équation de l’effet du travail, abstraction faite des frottements, on a (1489)

2 | mvf — 1 î tnv.* = PSV6 — psvO + qh ;

2 £»!*,* somme des forces vives que possèdent les divers éléments du fluide 4 la fin du temps 0 ;

Z - mvj somme des forces vives au commencement de ce temps ;

PS pression totale sur la surface AB;

VO espace parcouru par la pression PS pendant le temps G;

du fluide.

Fig «5. s

ÊCOl LESENT PIUASISI D’iS FLUIDE, ETC.

PSV0 travail produit par PS pendant le temps 0 ;

jMt-0 travail négatif produit par la pression p.» sur l'orifice ab pendant le temps 0;

qh est le travail produit par l'action de la pesanteur sur tout liquide; carie fluide étant partout homogène, le travail dû à l’action de la pesanteur sur tout le liquide se réduit ù celui qu’elle aurait produit en agissant seulement sur la tranche AR.VB’, pendant que cette tranche passo dans la position aba'b'.

Remarquant que l’on a

SV0 = rcO = 5 ,

puisque ces trois expressions représentent chacune le volume d’eau écoulé pendant le temps 0, l’équation de l’effet du travail peut être mise sous la forme

De la permanence du régime, il résulte que l’accroissement de force

vive du système est égal & la force vive de la masse | comprise à la

fin du temps 0 dans la tranche aba’b’, moins celle d’une masse équivalente contenue au commencement de 0 dans la tranche ABCD ; ainsi

•c 1 i v 1 , qv' qV*

I 2- ""V - 2 2 Wr" = ~ \g

Égalant les deux seconds membres des équations (1) et (2) , il vient , en supprimant le facteur q,

Équation homogène ; car - = A, et -

A', sont les hauteurs de deux

colonnes du liquide dont il s’agit , auxquelles seraient dues les pressions par mètre P et p.

Multipliant les deux membres de l'équation précédente par 2.17, elle devient

v' — V1 = 2yh +

2 Q fP — P).

On a

vs = VS ou »V=V‘S‘, d’où

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

Substituant cette valeur de V* dans l’équation (3) , ou a

d’où l’on tire

ou , en remplaçant - par A, et - par h\ ,

/ig(h + A, — A',)

Supposant, comme cela arrive ordinairement dans la pratique , que s

est très-petit par rapport à S, on peut négliger ^ , et la vitesse d’écoulement du fluide devient

r =\J 2 g h + = sjîg(h + h,-h\). (à)

Lorsqu’il s’agit de l’écoulement d’un liquide placé dans un vase ouvert, les pressions P et />, ou les hauteurs A, et A', qui les représentent, ne sont autre chose que les pressions atmosphériques sur la surface du liquide et sur la paroi de l’orifice d 'écoulement, et comme on peut les supposer égales , la vitesse d’écoulement est alors

v = \ïgh. (a)

Ce qui fait voir que la vitesse d'écoulement dujluide est égale à celle que prendrait un corps en tombant de la hauteur h dans le vide (1319).

La hauteur A, qui mesure la charge du fluide sur le centre de gravité de l'orifice d’écoulement , est appelée pour cette raison hauteur génératrice, et de la formule précédeute ou tire

Cette formule, due à Torricelli, disciple de Galilée, se vérifie sensiblement dans la pratique par l’observation des jets d’eau verticaux ou horizontaux , pour les petits orifices et les grandes charges par rapport aux dimensions de ces orifices.

Dans le cas où l'orifice d'écoulement est noyé, la pression p est égale

fiOS

ÊCOULEOTTr PER11AXEXT D'UH PLUDB, ETC.

à la pression atmosphérique plus la pression du liquide sur la face extérieure de l’orifice. La pression atmosphérique étant détruite par la même pression qui agit sur la surface du liquide dans le vase , il en résulte que I’ — p se réduit à — p' et A, — A', à — A' ; ainsi on a

A' étant la hauteur du niveau du liquide au-dessus delà face extérieure de l’orifice d’écoulement.

La vitesse d’écoulement est alors

v — \Jîgh — 2ÿ A' = v'2p(A — A'). (c)

Ce qui fait voir que la r itesse est égale à celle qui résulterait d'une charge sur V orifice égale à la différence h — h' des niveaux.

Les formules précédentes font voir que la vitesse d’écoulement est indépendante de la nature du liquide , et qu’elle dépend uniquement de la hauteur A ou A — A'.

Applications :

1" Un liquide s'écoule d'un réservoir par un orijice dont le centre de gravité est à 1*\50 au-dessous du niveau du liquide dans le réservoir; quelle est la vitesse d'écoulement?

Remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la formule (a), on a

v = sl'é x 9,81 X 1,60 = 5“,A2.

2“ Quelle est la hauteur génératrice de la vitesse d'écoulement , 5“.A2?

Pour cette vitesse, la formule (6) donne

3“ I*es hauteurs des niveaux dun liquide sur le centre de gravité d'un orijice noyé sur les deux faces sont 2" et 0“,50 ; quelle est la vitesse d'écoulement ?

Avec ces données , la formule ( c ) donne

Nous donnons dans notre Aide-Mémoire une table complète des hauteurs génératrices des vitesses usitées dans la pratique.

1380. Fluides élastiques. La formule (A) du numéro précédent s’applique aux fluides élastiques comme aux liquides. Pour les fluides élas-

SEPTifeUE PARTIE. — MÉCANIQUE.

tiques la hauteur h étant généralement négligeable prés de - =è, et de ^ = h\ , on peut écrire

Ainsi, la vitesse d'écoulement d'un gaz est encore égale à celle que prendrait un corps tombant dans le ride d'une hauteur (h, — h',) = 11', qui mesure, en gaz qui s'écoule, la différence des pressions sur les deux faces de l'orifice.

La pression d’un gaz ou d’une vapeur se mesurant à l’aide du manomètre, P — p se trouve évalué par une hauteur II, d’eau ou de mercure. Il faut alors transformer 11, en unebauteur 11' de gaz qui s’écoule, qui produirait la même pression, eu multipliant II, par le rapport de la densité du liquide du manomètre h la densité w du gaz qui s’écoule; ainsi la hauteur 11' sera, si U, est exprimé en mercure (1567),

Le gaz ou la vapeur se dégageant dans l’atmosphère , comme le manomètre indique l’excès P — p des pressions sur les deux faces de l’orifice, il en résulte que l’on a II' = ;/*,—/*’,) et que la vitesse d’écoulement est

v =^2gW

Application. De l’air se dégage d’un récipient où il est à la pression de trois atmosphères, par un orifice qui communique à l’air libre ; quelle est la vitesse d'écoulement?

On a

H, = 0,76 x 2= lm,52.

La densité de l’air à 0“ et sous la pression atmosphérique étant le ^ .

de celle de l’eau , le poids du mètre cube d’air est ^ x 1000 = /k,3 ; et sous la pressiou de trois atmosphères, on a «o = 1,3 x 3 = 5,9 •

La iiauteur génératrice II' est alors

ir = 1,52 x = 5299“,

ÊCOCLKMEST rERMANEST D'i» FLUIDE , ETC.

et la vitesse d’écoulement ,

188t. Vitesse réelle d'écoulement d’un fluide. Les vitesses précédentes d’écoulement d’un fluide sont appelées vitesses théoriques. Dans la pratique, on conçoit que le frottement du liquide contre les parois du vase et de l’orifice, et la résistance de l’air diminuent ces vitesses.

Lorsque V écoulement a lieu en mince paroi, c'est-à-dire quand l’épaisseur de la paroi dans laquelle est pratiqué l’orifice d’écoulement est moindre que la plus petite dimension de l’orifice, et au maximum de 0", 05 à 0”, 06, la vitesse réelles' avec laquelle le liquide s'écoule , lorsque la vitesse est à peu prés nulle dans le vase, estégalcà la vitesse théorique diminuée de un à deux centièmes ; ainsi , en moyenne , on a

Quand Yèccmlement a lieu à qveule-bèe , c’est-à-dire lorsque les filets fluides se rapprochent des parois de l’orifice, ce qui a lieu quand l'épaisseur de la paroi est égale au moins à une fois et demie sa plus petite dimension , ou que cet orifice est prolongé d'un ajutage dont la longueur est égale à trois on quatre fois la plus petite dimension de l’orifice, la diminution de la vitesse est plus considérable.

1882. Contraction de la reine. Lorsqu’un fluide s'écoule par un orifice, on remarque que la section de la veine fluide va en diminuant jusqu'à une certaine distance de l’orifice. Cet effet de diminution prend le nom de contraction de la veine. C’est au point oô la contraction est la plus grande que les formules des numéros précédents donnent la vitesse d’écoulement. La vitesse est évidemment moindre en tous les autres points de la veine fluide.

li!85. Contraction complète ou imcomplète de la reine. La contraction étant principalement due à ce que les divers filets fluides n'arrivent pas parallèlement entre eux perpendiculairement à la section de l’orifice d’écoulement, on conçoit que la contraction sera d'autant plus faillie que l’orifice se raccordera mieux d’une manière continue avec les parois du vase.

On dit que la contraction, est complète , lorsqu'elle s'opère entièrement sur tout le contour de l'orifice; ce qui a lieu quand cet orifice est éloigné du fond et des parois du vase d’au moins une fois et demie à deux fois sa plus petite dimension.

La contraction est dite incomplète , lorsqu’elle est supprimée sur un, deux ou trois côtés de l’orifice, c’est-à dire quand un , deux ou trois des côtés de l'orifice font prolongement aux parois du vase.

1884. Dépense théorique par un orifice d'écoulement. En négligeant la diminution de la vitesse d’écoulement , et en supposant nulle la con-

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

traction de la veine, il est évident que la dépense, c'est-à-dire le volume 0' de fluide qui s’écoulerait par seconde , serait (1579)

Q'=?sv = s ,

s étant la section de l'orifice et v la vitesse théorique.

1683. Dispense effective. U estévideut qu’à cause des diminutions de la vitesse et de la section de la vefne fluide , la dépense effective, c'està-dire le volume Q de fluide écoulé par seconde, est moindre que la dépense théorique 0', et que l’on a

Q = /.Q' = ksv — ks v 2 g h ,

k étant un nombre plus petit que l’unité.

Ce nombre k , que l’on appelle coefficient de la dépense, est le rapport de la dépense effective à la dépense théorique sv ; il varie suivant la forme et les dimensions de l’orifice , et les valeurs de la charge h sur l’orifice. Pour des orifices circulaires de 0”,03 à 0",08 de diamètre, où le liquide affluait de toutes parts, on a trouvé que l'aire de la section contractée n’était que les 0,04 de celle de l'orifica Pour les vannes d’écluses, dont le seuil est en général très-rapproché du fond du radier d’amont, le coefficient k de la dépense est moyennement 0,625, que la vanne soit ou ne soit pas noyée sur les deux faces.

Nous renvoyons à notre Aide-Mémoire pour les valeurs de k à employer dans les différents cas de la pratique.

Application. Quel est le volume d’eau écoulé en 25' par un orifice de 0”',005 de section , la hauteur constaute du niveau de l’eau au-dessus du centre de gravité de l’orifice étant 1",50, et le coefficient de la dépense 0,04?

Itemplaçant les lettres par leurs valeurs dans la formule précédente , la dépense par seconde est

Le volume -écoulé en 25’ est alors

COURS d'eau.

1386. Cours d'eau à section constante et. à pente uniforme. Lorsque le régime des eaux est établi , c’est-à-dire quand le mouvement de l’eau est uniforme, on a

O = Su, d’où r =

O dépense au volume d’eau écoulé par seconde ;

S section transversale du cours d’eau ; v vitesse moyenne d’écoulement de l’eau.

COt'IiS D'EAU.

On a aussi , d’après de Prony,

j = g (av + bv'}.

I pente par mèire; elle est égale à la différence de niveau de deux points de la surrace de l eau , divisée par la distance de ces deux points mesurée suivant l’axe du cours d'eau ;

S section transversale du cours d’eau ; v vitesse moyenne du cours d’eau;

P périmètre mouillé ; c’est le contour de la section S, diminué de la largeur du canal à la surface de l’eau ; n — 0,0000444 coefficient constant ;

* = 0,000309 id.

les^n^ h» U‘ VîPrem!?rd°nné h f°rmule *lr6cétlonle- « déterminé les valeurs de a et b, en discutant les résultats de trente et une expériences faites par Dubuat, sur des canaux factices et des rivières dont arcot'0n a varié de * 29-, 00. et la vitesse moyenne de 0»,12

J?'teI"!in\Cn SUivaDt la mômc marcbo t)ue fle Prony> mais en ajout aux résultats do Dubuat ceux obtenus depuis par MM. Brünings

\\ oltmann et Funck, pour des canaux et des rivières dont la scctkm fluide a varié do O— ,014 à 2604**,00, et la vitesse de 0“,124 à 2” 42 a conclu de 91 résultats, que l’on devait faire dans la formule de Pro’nv a = 0.000024 et b — 0,000365. Y

U formule de Prony, modifiée par les nouvelles valeurs de a et b d Eytelwcln, convient mieux au cas des grandes rivières ; mais elle ne s applique pas également bien aux 91 expériences discutées par Evtelwcin. Les résultats de Dubuat, notamment, sont beaucoup mieux représentés par la formule de Prony.

On appelle rayon moyen , le quotient de la section transversale s d un cours d’eau par le périmètre mouillé P; ainsi, on le représentant par R , on a

et la formule de Prony donne, en remplaçant a et b par leurs valeurs, RI = 0,0000444c + 0,000309c»,

d’où l’on tire (488)

r =Vr0, 005163 + 3233,4281(1 - 0,07185,

ou à peu près

e**- 56,86 vRi— 0,072.