PREMIÈRE PARTIE, —r ARITHMÉTIQUE

194. Addition. L’erreur absolue de la somme de plusieurs nombres dont toutes les valeurs sont approchées par défaut ou par excès est égale à la somme des erreurs absolues de ces nombres.

Lorsque des nombres ont des valeurs approchées par défaut et d’autres des valeurs approchées par excès, on fait la somme des erreurs par défaut et celle des erreurs par excès, et la différence des deux résultats obtenus est l’erreur absolue de la somme des nombres proposés. Le sens des erreurs qui ont fourni la plus grande somme est celui de l’erreur absolue du résultat de l’addition.

L’erreur relative de la somme de plusieurs nombres est égale à l'erreur absolue divisée par cette somme.

Pour calculer, avec une erreur absolue moindre qu’une unité d’un ordre déterminé, la somme de moins de 11 nombres, on fait la somme à partir des chiffres qui expriment des unités d’un ordre immédiatement inférieur à celui désigné, en négligeant tous les chiffres à droite. Ainsi pour calculer, avec une erreur absolue moindre que 0,1, la somme des nombres 5,347, 8,7337, 0,0425, on fait simplement la somme des nombres 5,34, 8,75 et 0,04. En effet, l’erreur absolue sur chaque nombre étant plus petite que 0,01, comme il y a moins de 11 nombres, l’erreur absolue de la somme sera plus petite que 0,01 x 10 = 0,1.

S'il y avait plus de 10 nombres et moins de 101, on prendrait un chiffre décimal de plus en faisant la somme.

Soit maintenant à calculer la somme des nombres 75,347, 8,7537 et 0,6425 avec une erreur relative moindre que 0,01.

On fait la somme 70 + 8 + 0,6=78,6 des nombres formés par les premiers chiffres à gauche des nombres proposés; on divise cette somme par 100, formé de l’unité suivie d’autant de zéros que l’indique l’ordre de l’unité énoncé (0,01), ce qui donne 0,786; on divise cette somme par le nombre 3 des nombres à ajouter, et le premier chiffre à gauche du quotient 0,262 exprimant des dixièmes, cela indique qu'il suffit de prendre chacun des nombres proposés avec un chiffre décimal seulement. Si ce premier chiffre à gauche avait exprimé des centièmes, on aurait pris les nombres avec deux chiffres décimaux; s’il avait exprimé des millièmes, on en aurait pris trois...

Ainsi la somme cherchée est 75,3 + 8,7 + 0,6 = 84,6. En effet, l’erreur relative de la somme des nombres proposés devenant moindre que 0,01 dès que l’erreur absolue est moindre que la centième partie de cette somme (193), comme la somme des nombres proposés est plus grande que 70 + 8 + 0,6 = 78,6, et que, par suite, sa centième partie est plus grande que 78,6x0,01 = 0,786, en prenant chacun des nombres

proposés avec une erreur absolue moindre que = 0,262 et moin-

dre surtout que 0,1, ce que l’on fait en les prenant avec un chiffre décimal, on est sûr que l’erreur absolue de leur somme sera moindre que

uvrb nr. — fractions bt nombrbs décimaux.

0,786 et à plus forte raison que la centième partie de la somme des nombres proposés : la somme ainsi calculée satisfait donc à la question.

1 Oit. Soustraction. Le plus grand nombre étant la somme du plus petit et de la différence, selon que les erreurs absolues des deux nombres proposés ont un même sens, c’est-à-dire sont toutes les deux par défaut ou par excès, ou que ces erreurs sont de sens contraires, l’erreur absolue du résultat est égale à la différence ou à la somme des erreurs absolues de ces nombres :

D'après ce qui a été dit pour l’addition (194), il résulte que pour calculer la différence de deux nombres 75,3478 et 26,5963 avec une erreur relative moindre que 0,01, par exemple, on prend la différence 70 —20=50 des nombres formés par les premiers chiffres à gauche de ces nombres; on multiplie cette différence par l’unité indiquée 0,01, ce qui donne 0,5; on prend la moitié 0,25 de ce produit, et le premier chiffre 2 à gauche de cette moitié exprimant des dixièmes, cela indique qu’il suffit de prendre chacun dos nombres proposés avec un chiffre décimal ; ce qui donne 75,3—26,5 = 48,8 pour le résultat demandé.