LIVRE IV.— CARRÉS, CUBES, RACINES CARRÉES ET RACINES CUBIQUES

chiffre trop fort Pour le vérifier, comme pour le précédent on forme les trois autres parties qui, avec le cube des dizaines, qui a été retranché, entrent dans le cube 3068625, c’est-à-dire le triple carré des dizaines par les unités 3 x 140* x5= 294000, le triple des dizaines par le carré des unités 3x 140x5* = 10500, et le cube des unités 6® = 125; on fait la somme 304625 de ces trois parties, et cette somme n'étant pas supérieure au nombre 304625, duquel on doit la retrancher, c’est que le chiffre 5 est le suivant de la racine. On continuerait ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait opéré sur toutes les tranches.

213. Le plus grand reste qu’il est possible d’obtenir" dans l’extraction de la racine cubique ne peut atteindre le triple carré de la racine déjà obtenue, plus le triple de cette même racine, plus un. Si le reste atteignait ou dépassait cette limite, c’est que le chiffre de la racine serait trop faible; il faudrait alors l’augmenter.

214. Dans tout le cours des opérations relatives à l’extraction de la racine cubique, chaque reste, suivi de toutes les tranches sur lesquelles on n’a pas encore opéré, est égal au nombre dont on cherche la racine, diminué du cube de la partie de racine déjà obtenue.

Comme pour la racine carrée (236), si la racine cubique d’un nombre entier tombe entre deux nombres entiers consécutifs, cotte racine, quoiqu'elle existe, ne peut être exprimée par aucun nombre, entier, fractionnaire ou décimal ; elle est incommensurable.

213. Pour trouver la racine cubique d'un nombre entier, 3048625 par exemple, à moins (Tune unité, il suffit d’extraire la racine cubique, à moins d'une unité par excès, du nombre 3040000 , formé en prenant sur la gauche du nombre proposé^plus du tiers des chiffres et on remplaçant par des zéros les autres chiffres. Aiusi, en extrayant la racine cubique de 3040000, on obtient 144 avec 54016 pour reste; la racine de ce nombre, approchée par excès à moins d’une unité, est alors 145, et c’est le résultat demandé.

210. Un nombre pair ne peut être un cube parfait que lorsqu’il est divisible par 2* = 8. Un nombre terminé par des zéros ne peut être un cube parfait que quand le nombre de ces zéros est un multiple de 3 (238).

217. Preuve par 9. Une puissance d'un nombre étant le résultat de la multiplication de ce nombre pris plusieurs fois comme facteur, la preuve par 9 de l'élévation d'un nombre à une puissance se fait d’après la marche suivie pour la preuve par 9 de la multiplication (96).

Pour faire la preuve par 9 de l’extraction d’une racine, le nombre proposé étant égal à une puissance de la racine d’un degré égal à l’indice, plus le reste, on suivra une marche analogue à celle suivie pour la division (97). Ainsi pour faire la preuve par 9 de l’exemple du n° 242, on cherche le reste 1 de la racine 145 par 9, on prend le cube 1 de ce reste, et le reste 1 de ce cube par 9, ajouté au reste 0 par 9 du reste do

CO PREMIÈRE PARTIE. — ARITHMÉTIQUE

l’extraction, donne une somme t, dont le reste 1 par 9 doit être égal au reste par 9 du nombre proposé 3048625.

CARRÉS, CUBES, RACINES CARRÉES ET RACINES CUBIQUES DES FRACTIONS ET DES NOMBRES DÉCIMAUX.

948. Le carré d'une fraction étant le produit do cette fraction par elle-même, on l’obtient en élevant chacun de ses termes au carré (147).

AV 4* 16 \j) ~V~ 49'

949. De même, le cube d'une fractionfit&nt le produit de cette fraction prise trois fois comme facteur, on l'obtient en élevant chacun de ses termes au cube.

980. De la manière dont se forment le carré et le cube d’une fraction (248, 249), il résulte que pour obtenir la racine carrée ou la racine cubique d’une fraction, il suffit d’extraire la racine carrée ou la racine cubique de ses deux termes (226). Ainsi

*/6 4~ V 64 4 V 49 ~ v49 - 7’ Ct V 125 ’/î 25 ” 5-

9oI. On peut ramener le calcul de l'extraction de la racine carrée ou cubique d'une fraction à l'extraction de la racine d'un seul nombre. Pour cela, il suffit de multiplier les deux termes de la fraction proposée par le dénominateur de cette fraction*, s’il s'agit d’extraire la racine carrée, ou par le carré de ce dénominateur, s'il s’agit d’extraire la racine cubique. En effet,

et

vin

On voit que, par cette manière d’opérer, le dénominateur de la racine obtenue est égal au dénominateur de la fraction proposée.

289. Le carré d’un nombre décimal étant le produit de ce nombre par lui-même, ct le cube d’un nombre décimal étant le produit de ce nombre pris trois fois comme facteur, on obtiendra le carré et le cube