PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES

509. üne suite de nombres croissants ou décroissants, tels que le rapport arithmétique de chacun d'eux à celui qui la précède immédiatement est constant (272), forme une progression arithmétique ou par différence. Ces nombres sont les termes de la progression, et le rapport constant de chaque terme à celui qui le précède immédiatement en est la raison.. Ainsi les nombres 4, 7, 10, 13, 16 forment une progression arithmétique croissante dont la raison est 7 — 4 ou 3. On Vécrit

et on Tènonce comme 4 est à 7 est à 10 est à 13, etc.

Remarque. Les mômes nombres écrits dans un ordre inverse donnent la progression arithmétique décroissante

fl6.13,10.7.4. (5)

310. On n’altère pas une progression arithmétique lorsqu’on augmente ou qu’on diminue tous ses termes d’une môme quantité (4*, 27) ; on ne l’altère pas non plus quand on multiplie ou quand on divise tous ses termes par un même nombre, mats la raison est multipliée ou divisée par ce nombre (33 et 60).

511. Suivant qu’une progression arithmétique est croissante ou décroissante, chaque terme est égal au premier plus ou moins la raison prise autant de fois qu'il y a de termes avant celui que l'on considère. Ainsi dans la progression (a) le 5' terme est 4 + 3x4 = 16, et dans la progression (A) le 3* terme est 16—3x2 = 10.

312. La somme de deux termes également distants des extrêmes est égale à la somme des extrêmes dans une progression arithmétique. Ainsi t4'7-10'13’16 donne

315. La somme s des termes d'une progression arithmétique est égale au produit de la demi-somme des extrêmes par le nombre des termes de la progression. La progression ci-dessus donne

PREMIÈRE PARTIR, — ARITHMÉTIQUE

314. Pour insérer un certain nombre (le moyen* arithmétiques entre deu* nombres donnés, on détermine la raison de la progression qui doit en résulter, ce qui se fait en prenant la différence entre les deux nombres donnés et en divisant cette différence par le nombre de moyens augmenté de t. Ajoutant successivement cette raison au petit nombre donné et aux sommes obtenues, on obtient les divers moyens.

Soit à insérer 3 moyens entre h et 28.

La raison est

et ajoutant 6 à 4 et successivement aux sommes obtenues, on a

On arriverait au même résultat en retranchant la raison 6 du grand nombre 28 et successivement des restes obtenus.

513. Quand le nombre des moyens arithmétiques à insérer est une puissance de 2 diminuée de 1, on trouve directement ces moyens arithmétiques en prenant une moyenne arithmétique entre les deux nombres donnés (290); puis une moyenne arithmétique entre chacun des nombres donnés et le terme trouvé, et ainsi de suite.

Soit à insérer 2’— 1 = 3 moyens entra 0 et 1. Prenant la moyenne arithmétique 0,5, entre 0 et 1, on a d’abord la progression ±0. 0,5.1; insérant ensuite une moyenne arithmétique entre chacun des termes consécutifs de cette progression , on obtient la progression demandée

516. En insérant un même nombre de moyens arithmétiques entre les termes consécutifs d’une progression arithmétique, l’epsemble de tous les termes forme une nouvelle progression arithmétique.

Insérant trois moyens entre les termes consécutifs de la progression ±2.14.26, on obtient la nouvelle progression

317. Les sommes des termes correspondants de plusieurs progressions arithmétiques forment une progression arithmétique, dont la raison est la somme des raisons des progressions dont on a ajouté les termes.

En retranchant les termes d'une progression arithmétique des ternies correspondants d'une autre progression arithmétique, les restes forment une progression arithmétique, dont la raison est la différence des raisons des progressions proposées.