DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉGOLE POLYTECHNIQUE

SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Quai des Grands-Augustins, 55.

INTRODUCTION

A LA

MÉTHODE DES QUATËMONS.

VI PnÉFACE.

long et que j'arrive seulement aujourd'hui à pouvoir la présenter au public.

Ceux qui connaissent déjà le Calcul des quaternions ne doivent pas s'attendre ici à rien trouver de nouveau. Par contre, j'espère que les personnes étrangères à cette méthode et qui ont simplement une instruction mathématique ordinaire pourront acquérir, par une lecture un peu attentive de cette Introduction, une connaissance suffisante du calcul en question. Elles seront à même d'en faire ensuite des applications plus élevées ou d'aborder les Ouvrages des maîtres, qui leur fourniront les moyens de s'initier à la méthode des quaternions d'une manière complète.

J'ai pris comme modèle, sans le suivre cependant pas à pas, et en y introduisant les modifications qui m'ont paru justifiées, un Livre analogue publié à Londres en 1873, par MM. Kellawd et Tait, sous le titre d^Introduction to quaternions. J'ai surtout emprunté à cette œuvre la plus grande partie des exercices traités ou proposés au lecteur.

Peut-être est-il utile de donner ici quelques idées très générales sur l'esprit et sur le but de la remarquable méthode d'Hamilton. Cela permettra au lecteur pour lequel le sujet est absolument nouveau d'en aborder l'étud» avec une précision d'autant plus grande ; et cela me conduira moi-même à expliquer et à justifier le mode d'exposition auquel j'ai cru devoir m'arrêter.

La signification des signes -h et — , s'appliquant au sens des longueurs portées sur une ligne droite indéfinie, est une des créations les plus merveilleuses du génie de Descartes. C'est la base fondamentale de la Géométrie analytique. Mais, sans se préoccuper de la question des axes coordonnés, et en s'en tenant aux relations entre longueurs portées sur une seule droite, on s'aperçoit

rnÉFACE. VII

que tous les faits géométriques qui s'accomplissent sur cette droite trouvent ainsi leur traduction dans l'Algèbre des quantités positives et négatives.

On peut donc dire que le calcul de ces quantités, en mettant de côté tout ce qui concerne les imaginaires, c'est le calcul des faits géométriques sur une droite.

Cette première notion devait s'étendre.

Tout le monde sait aujourd'hui combien a été féconde au point de vue des résultats, en même temps que remarquable au point de vue philosophique, l'interprétation géométrique des imaginaires (la dernière à laquelle se soit arrêté Cauchy) ; cette intégration consiste à considérer x-hy ^—~i ou x-hyî comme représentant la droite qui part de l'origine pour aboutir au point dont les coordonnées sont j: etj\

On commence à connaître aussi, même en France, la méthode si remarquable de Géométrie analytique plane due à M. G. Bellavitis, et qu'on désigne sous le nom de Théorie des équipollences ,

Le calcul des équipollences, c'est-à-dire le calcul des quantités imaginaires, c'est le calcul des faits géométriques dans un plan.

Et comme les règles à appliquer sont précisément celles de l'Algèbre ordinaire, on voit avec quelle facilité se combinent, se transforment, se soumettent enfin à toutes les opérations les faits géométriques dont il s'agit.

Il était naturel; dès lors, que l'on cherchât, par voie de généralisation, à étendre aux faits géométriques de l'espace d'aussi intéressants résultats. Des tentatives diverses furent faites longtemps dans cet ordre d'idées ; mais il était réservé au génie d'HAMiLTON de surmonter les grandes difficultés que présentait la question et de créer de toutes pièces une doctrine nouvelle, irréprochable au point de vue philosophique, féconde en ré-