VIII PRÉFACE

sultats, et à laquelle il a donné le nom de Calcul des Qdatebwions.

On peut dire, en résumé, que le Calcul des quaternions, c'est l'Algèbre des faits géométriques de l'espace.

Le premier élément à considérer, par analogie avec le plan, c'est la droite limitée qui, partant de l'origine, aboutit à un point quelconque, et que l'on représentera par un seul symbole. Comme deux droites, toujours par analogie, doivent être géométriquement égales (ou équipollentes) lorsqu'elles ont même longueur, même direction et même sens, on peut définir le symbole unique qui les représentera l'une ou l'autre par l'expression d'une translation. C'est à ce symbole qu'on donne le nom de vecteur, et les vecteurs sont la base fondamentale, l'élément essentiel et primordial de la méthode des quaternions.

Si l'on cherche à soumettre les vecteurs à l'addition ou à la soustraction, ou à les multiplier par des facteurs réels, l'analogie avec le plan se poursuit absolument, et les difficultés sont nulles.

Mais, dès qu'on arrive à la notion de multiplication, la question devient épineuse et délicate; il faut se donner une définition qui peut sembler plus ou moins arbitraire, et l'on s'aperçoit très bien qu'on n'est plus là sur le domaine des quantités imaginaires de l'Algèbre ordinaire. La considération du rapport géométrique de deux vecteurs (ou de la biradiale) fournit la solution de la question ; mais, en étudiant les biradiales, en les combinant entre elles, on arrive par la force des choses à reconnaître bien vite qu'il faut des règles nouvelles au nouveau calcul. Toutes les modifications qui se produisent dérivent d'un fait unique, dont l'importance est énorme : c'est que « la multiplication n'est plus commutative en général ». Toutes les autres propriétés de la

PRÉFACB. IX

multiplication sont conservées, mais non pas celle-là.

L'Algèbre nouvelle qui en résulte présentera donc certaines difficultés spéciales, et l'on peut, si on le juge convenable, en profiter pour faire la critique de la méthode des quaternions et déclarer qu'il y a là un inconvénient fondamental et grave.

Mais cet inconvénient résulte de la nature même des choses. Il représente la traduction exacte, formelle, d'un fait précis ; de telle sorte qu'il serait peut-être plus sage de voir là, tout au contraire, un avantage sérieux, puisque l'Algèbre des faits géométriques de l'espace ne saurait exister sans cela.

Les ressources que présente cette Algèbre, la concision qu'elle permet d'introduire dans les calculs, le caractère intuitif qu'elle donne à certaines solutions, l'étendue et la variété des applications auxquelles elle se prête, nous ne les développerons pas ici. Mais nous ferons remarquer, d'après ce qui précède, tout l'intérêt qu'il y a, dans une première initiation surtout, à ne pas séparer un seul instant les symboles des faits réels dont ils sont la représentation, et à ne pas laisser l'esprit du lecteur perdre de vue ces faits géométriques, qu'il s'agit d'exprimer et de combiner. Autrement, on s'exposerait à donner peut-être un caractère quelque peu répugnant à son exposition, en froissant les habitudes d'esprit les plus ordinaires, comme celle de la commutativité de la multiplication, sans raison visible et bien justifiée.

Je crois, pour mon compte, qu'il faut chercher dans ce procédé d'exposition trop exclusivement analytique l'une des causes principales de la défaveur dans laquelle les quaternions sont restés si longtemps en France, défaveur dont ils commencent à peine à se relever, alors qu'à l'étranger, en Angleterre et en Amérique surtout,