L. — Quaeernions
— i8 — Nous avons
OF = OA 4- z.BA = OA' -f- z'.B' A', c'est-à-dire
F — 0F=: A-f-z(A— b) = WA -|- z' (/WA — «b).
Fîg. 8.
Delà
et
De même,
Si nous posons maintenant
il en résulte qu'on aura
du -f- tf E -h/F = o
et en même temps
Donc ( 13 ) les points D, £, F sont en ligne droite.
8. Si un quadrilatère Ai B| B, A^ [fig^ 9) est coupé par une sécante quelconque A3 B3, les points de rencontre des dia»
gonales C3, Cj, Cj des trois quadrilatères ainsi formés sont en ligne droite.
Soient a, b deax vecteurs unitaires suivant A1A2, B^B, respectivement, et
OAi^=aiA, OA2==a2A^ OAj^ajA, OBi=:btB, OBî^bjB, OBa^baB.
Pour trouver C3, nous écrirons
ou
0C3i=0Ai4-^.AiBj=:0BiH-j.BiAj,
;3 = aiA -{-^(bjB — a^AJ =biB +/(a2A — biBJ.
Delà
ai(i et
) = a,j, bi(i— ^)=bj.r, xz=
bi(at — a^)
aibi— a,b.
__ aia2(bi--b2)A + bib2(a| — a8)B "" Uib, — ajbj
De même,
Cj r- j- 5
a^b, — ajbg
aaa, (bg— bi ) A -4- b,bi (a, — a, )b 83 bj — a^bj
Posant M3=ia3b3(aibi — a,b,), 2/1 == aj b^ ( a, b, — a,b,), 2/}= asb2(a3b3 — ajbj), on voit qu'on a à la fois
Ui-h ttj-*-M3= O,
ce qui démontre la propriété énoncée.
9. Le point d'intersection des médianes d*u n triangle, le point d'intersection des hauteurs et le centre du cercle circonscrit sont sur une même droite^ que le premier de ces points divise dans le rapport de i « 3.
Soient G, H, K [fig. 10) ces trois points respectifs. Posons
Fig. 10.
CB — rtA,
CA
bu.
Alors CG =
(Exercice 2)
De plus,
AD 3= ^(cosC.A — b), BE= «(cosC.B — a),
et, pour déterminer H, nous écrirons
H = ^B H- j6(cosC.A. — b) = <îA + xa(cosC.B — a),
d*où
-, . r^ I \ f i-i ^ — ^cosC
b[\ — r) = .rflC0sC, a[i — j: = r6cosC, xa=L :-— -- — i
^ "^ ' ^ ' sin'C
(2) CH=:-^^[(^»-«cosC)A-*-{a-ôcosC)B].
Enfin, en écrivant
CK = CF -h tt. AD = CI + ï^.BE, on trouverait, sans plus de peine,
(3) CK = — ^[(fl — 6cosC)a + (^» — «cosCIbI.
Des relations ( i ) , ( 2 ) , ( 3 ) on déduit
2CK4-CH — 3GG = o, ce qui montre que les trois points sont en ligne droite, puisque
De plus, cette relation pouvant s'écrire
2 (CK — CG) -h CH — CG = o ou
2GK-hGH = o, 2KG = GH,
on voit que le point G est situé au tiers de la droite KH.
Vecteurs moyens. — Points moyens.
15. Nous avons déjà remarqué (Exercice 2) que le vecteur du milieu de la droite AB est si a et b son t
les vecteurs de A et B respectivement, et que, a, b, g
étant les vecteurs de A, B, C, le vecteur du point de
rencontre des médianes du triangle ABC est r •
De même (Exercice 4), le milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère ABCD a pour
vecteur -, •
Généralisant cette notion, nous pouvons considérer n vecteurs
OAi=Ai, 0A2=Aj, ..., OA„=A„
et chercher à interpréter la moyenne de ces vecteurs ou le vecteur mojen
k| ~r~ AJ ~T" • • • ~T~ A^
Il est presque évident, et nous ne nous arrêterons pas à le démontrer, que le point G obtenu de cette manière est le centre des moyennes distances de A| , A2, . . . , A;i, ou, plus simplement, le point moyen de ce système de points.
Ce point équivaut, comme l'on sait, au centre de gravité d'un système de poids égaux, placés en A|, A2, • • • 7 A/j.
16. Une conséquence presque immédiate, c'est que la somme de tous les vecteurs issus du point moyen et aboutissant aux points du système est nulle.
Car la relation ci-dessus peut s'écrire
(Aj— g) -h (Aj— g) -f- ... -h ( A;,— g) =0,
c'est-à-dire
GAi -f- GAj-h ... 4- GA„=i:: o.
17. Soient trois systèmes de points, le premier formé des points ayant pour vecteurs a^ A2. . . . , a«, le second de B|, B27 . . . , Bpy et le troisième de la réunion des deux premiers. Si g, h, k sont les vecteurs des points moyens respectifs de ces trois systèmes, nous aurons
Aj -f- Ag -4- . . . -4- A;, Bj -4- Bj 4- . . . -♦- B„
Ai4-A2-+-...-|-A„-+-Bi-|-B2-+-...-f-Bp HG -\- pU
Donc (13) le point K est sur la droite HG.
18. Si plusieurs poids différents /?« , /?2> • • • > /^n sont placés aux points A^ A2, . . . , A«, il est facile de voir, en considérant d'abord deux points, puis trois, et ainsi de suite de proche en proche, que leur centre de gravité G aura pour vecteur
P\ Al -\- Pif^i -4- ...-+- ^„A„ G = •
f>l -+- f>2 -*- • • • -^Pn
Il est évident par là que les conditions établies aux n°* 13 et 14 pour que trois points soient en ligne droite ou pour que quatre points soient dans un même plan reviennent à exprimer :
Que Tun quelconque des trois points est le centre de gravité de deux poids quelconques placés aux deux autres points ;
Ou que l'un quelconque des quatre points est le centre de gravité de trois poids quelconques placés aux trois autres points.
EXERCICES
10. On joint les sommets d'un tétraèdre aux points de ren^ contre des médianes des faces opposées : ces quatre droites se coupent en un même point, qui divise chacune d*elles au quart.
Soient a, b, c, d les vecteurs des quatre sommets, A|, b^, c^, d^ ceux des points de rencontre des médianes des faces. On aura
B-hC+D C-l-D-f-A D-f-A-i-B A+B + C
A,= ^^— , Bj=.— ^, C.= ^^— ' "'=—3-'
et le centre de gravité des quatre sommets aura pour vecteur
A -f- B -f- C -i- n A -{-3 A, B-+-3Bi C + 3Ci D-f-3Di
A-t-B C-HD AH-C B-hl> A-f-D B-f-C
ce qui démontre Ténoncé du théorème et fait voir en même te mps que le point G est le milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques.
On a aussi
A, -+- Bt-h Cj -f- D, G= ; >
c'est-à-dire que le point moyen des quatre sommets est le même que celui des quatre points Ai, Bj, C|, D^. C'est, comme Ton sait, le centime de gravité du tétraèdre.
11. Sur les cétés successifs d'un polygone fermé Ai A, ... A„ [plan ou gauche) on porte des longueurs AiBi, AjBj, ..., ^n^n proportionnelles à ces côtés : démontrer que le point moyen des points Bi, Bj, . . ., B„ est le même que celui des points Aj, Aj, . . . > A„.
— assoit, en efîet,
-^1^1 AgBj ^ ^^ A„B„
AjA, AjAa A„Ai
Nous aurons
AjB|=: A". Aj A]
ou
B,— Ai=X(a,— Aj),
c'est-à-dire
De même.
= (i — /-)ai-+- Xaj.
et, en ajoutant,
Bi -h Bj H- . . . 4- B„ z=r Al -f- Aj 4- . . . -h A;,,
ce qui, en divisant par /?, démontre le théorème.
