L. — Quaternions

de représenter la biradiale AOB par le vecteur OB', perpendiculaire à son plan, égal en longueur à la grandeur numérique du rapport — et tel que pour un observateur placé suivant OB', les pieds en O, le mouvement de rotation du vecteur initial OA vers le vecteur final OB s'opère dans le sens positif (*), et si nous construisons de même OC et OD' répondant aux biradiales AOG, AOD, il est visible que nous aurons

OD" OB' -h OC.

Cette représentation d'une biradiale rectangle par un vecteur nous montre donc qu'il suffit d'opérer sur les vecteurs pour effectuer toutes les opérations que nous pourrons avoir à faire sur des biradiales rectangles. Il ressort de là, en particulier, que l'addition et la soustraction des biradiales rectangles, et par suite (22) des biradiales quelconques, présenteront exactement les mêmes propriétés que l'addition et la soustraction algébriques.

D'après cette convention, nous voyons encore qu'une biradiale quelconque, d'après la décomposition du n°22, se présentera sous la forme d'une quantité numérique, plus un vecteur.

Inversement, nous pourrons regarder un vecteur quelconque, OB' par exemple, comme représentant le rapport géométrique — ou un rapport égal.

Si la biradiale rectangle AOB est unitaire, il en sera

(^) Ici, comme dans toute la suite, nous adopterons constamment comme sens des rotations positives celui d'un mouvement de l'est 'vers le nord, ou, en d'autres termes, d'un mouvement contraire à celui des aiguilles d'une montre.

de même du vecteur OB', et Inversement. Donc, étant donné un vecteur unitaire, il représentera le rapport de deux vecteurs égaux en longueur, perpendiculaires entre eux, menés dans un plan perpendiculaire au vecteur unitaire, et tels que le sens de la rotation du vecteur initial au vecteur final soit positif.

Multiplication des biradiales.

24. Deux biradiales étant données, on peut toujours les amener à une position telle que le vecteur final de la première soit identique au rayon initial de la seconde.

Soient donc AOB, BOG ces deux biradiales. Nous dirons, par définition, que le produit de la première par la seconde est égal à la biradiale AOG, et nous écrirons

(i) AOB.BOC^AOC,

ou encore

OB OC OC OA bB~"ÔÂ*

OC Il suit de là que le module gr — -• du produit de deux

biradiales est égal au produit des modules des deux facteurs. Celte simple remarque nous permettra souvent, dans les démonstrations, de raisonner sur des biradiales unitaires, puisqu'il sera toujours facile de restituer aux résultais les valeurs de leurs modules.

En supposant, par exemple, que AOB, BOG soient des biradiales unitaires, les points A, B, G sont sur une même sphère, et nous voyons que la construction du produit AOG revient à ce qu'on peut appeler V addition des arcs de grand cercle AB, BG, ce mot « addition » étant compris dans un sens analogue à celui de l'addi-

lion des vecteurs sur un plan. Mais, pour effectuer cette addition sphérique, il faut toujours transporter les arcs sur leurs cercles respectifs, de manière que l'origine du second coïncide avec l'extrémité du premier. Si donc [fig* i4) nous avions voulu ajouter BC et AB, il aurait

Fig. i4.

fallu construire DB = BG, puis BE = AB, et le résultat de l'addition eût été DE. Gomme, en général, DE est fort différent de AG, on voit que l'addition sphérique n'est pas commutative, ou, en d'autres termes, que la multiplication des biradiales n'est pas commutative non plus. De cette différence avec la multiplication ordinaire résultent toutes les règles spéciales à l'Algèbre des quaternions.

Dans tout ce qui suivra, nous écrirons constamment le multiplicande d'abord et le multiplicateur ensuite.

25. Si nous multiplions la biradiale AOB par la biradiale BOA, le produit, d'après ce qui précède, sera

rr— ou l'unité. Deux biradiales dont le produit est ainsi OA

égal à l'unité sont dites réciproques.

Il est évident que la multiplication de deux biradiales réciproques est commutative.

Lorsque deux biradiales sont coplanaires, de même

module, et que leurs angles sont égaux et de signes contraires, on dit que ces biradiales sont conjuguées.

On peut mettre deux biradiales conjuguées sous la forme AOB, BOA', OA' ayant la même direction que OA

et le rapport ^ étant égal à ° « Le produit

AOB.BOA' est alors