AH.B = AB -+- A'B
Prenant les parties vectorielles des deux membres ( ou opérant
Fig. i8.
parti.), il vient
tl.AH.B=ti.AB.
De même AH =: je -h d, d'où l'on déduit (2) ti.AH.c = tl.DC.
De là y par soustraction [38 ( 6)],
ou
tl.AH(B— c) = ti.AB — ti.DC=:tl.AB-i-tl.CD
tl(AH.CB) ru U( AE.AB) -4- ti(AC.AG),
ce qui démontre (37) le théorème énoncé, ces trois vecteurs ayant la même direction. ^
CoROLLAiBE. — L'additiou des équations ( 1 ) et ( 2 ) donnerait
ti . A H ( B 4- C ) = U . A B — ti . CD ,
c'est-à-dire que, I étant le milieu de BC, la différence des aires des deux parallélogrammes ABDE, ACFG est équivalente au double de celle du parallélogramme construit sur AI, AH.
Remarques» — I. Dans les problèmes de ce genre, il est essentiel, comme l'on voit, de tenir compte des signes des aires de la façon la plus attentive.
II. L'opération double, consistant comme ci-dessus à multiplier une expression par b, puis à prendre la partie vectorielle du produit, peut se représenter, en un seul symbole, par U ( ) b. On peut de même employer les symboles tl.BX,^( )b, S.bX, . . ., comme nous aurons fréquemment occasion de le faire par la suite.
14.. Soient ABC un triangle y G le point moyen des sommets, O un point quelconque dans l'espace. On a
gr(AB* -h BC* 4- CA*) = 3gr (OA* -f- OB' -f- 0C«) — gr (30G)«.
Posons
OA=iA, OBi=B, OC — c.
Alors
A H- B -+- c = 30G = 3g et
(A-f-B-+-c)'= A^-f- B«+c*-4- 26(ab-|- bc + ca) =:(3g)'. D'un autre côté,
= 2{a' -h B*-h c') — 26(aB -+-.BC 4- Ca),
d'où, par addition,
ce qui démontre le théorème, en changeant tous les signes pour passer aux modules.
15. La somme des carrés des côtes d'an quadrilatère [plan ou gauche] est égale à la somme des carrés des diagonales, plus quatre fois le carré de la droite joignant les milieux des dingo nales.
Soit ABCD le quadrilatère. Posons AB :=r a, AC = b, AD z=n c. Les côte's sont représentés par les vecteurs a, b — a, c —b, c, les diagonales par b et c — a, et la droite qui joint leurs milieux
par • Or, on vérifie aisément que
d*où le théorème énoncé, en passant aux modules.
Relations entre les parties constituantes d'un quaternion. Nouvelle notation d'un verseur.
42. Reprenons rexpression d'un quaternion quelconque A, soit en le décomposant en ses quatre éléments,
(i) ^ = ^0+ ûjii H- «jig -h a^i^,
soit en mettant en évidence le module a ^^ ^ A, V angle a et Vaxe a,
{ 9. ) j4 =zsl[ cos a + sin a . a ) ,
soit enfin en l'écrivant
(3) J = $iJ~h\}A=r^J.UJ;
la comparaison de ces formules nous montre que
(4) 5^ = a^nracosa,
(5) \^j4=zaiii-{-a2i2-{-a^i.^=:asina.Ay
(6) ®.tl^— y/«J H- o^ -h «3 --asina.
Delà
(7) S^=:(2;^cosa,
(8) tl^ — t^sina.tlA,
(9) ^J:= s/'[^jy-h(^.\^J)'=^ y^(6^)»— (ti^jS
(la) t^ == \/al -f. «} + a* 4- al.
43. Soient AOB, BOC deux biradiales unitaires coplanaires, que représentent les verseurs cos0 4- sinô.n, cos cp -4- sin y . D respectivement, Taxe d étant évidemment le même de part et d'autre.
Il est évident par la seule inspection de la figure, et l'on reconnaît également par le calcul de
(cos9 -+- sIiîô.d) (cosy -4- sin9>.D), que ce produit n'est autre que le verseur
cos(0 -h ff) -+-sin(0 -h y)D.
Dans ce cas particulier des biradiales coplanaires, l'ordre des facteurs, comme on le voit, n'influe pas sur le produit.
Si nous posons d'une manière générale
(12) /(^) zrrCOSX -f- sinjc.D,
le résultat ci-dessus nous montre que
Cette propriété, caractéristique de la fonction exponentielle, nous amène à représenter le verseur
cos-r ~\- sinx.o
par la notation d-^, Tangle droit étant pris pour unité. D'après cela, nous aurons^ dans Texemple ci-dessus,
AOB =: d\ BOC =r D?, AOC =z D« D? — D«+?.
Cette notation exponentielle d', pour exprimer un verseur quelconque, est souvent fort commode.
Si l'exposant 9 est nul, le verseur est égal à l'unité; si = 1**^, le verseur se réduit à un vecteur; si = 2^*", on a
I>«rz: -I.
D'une manière générale,
D~* = — D, D""'=: — I, D~'r= D, D~* =rl , D"~^ := — D, ....
En un mot, n^ exprime la rotation de toute figure plane perpendiculaire à d, s'effectuant autour de cet axe et avec une amplitude 6. Cette simple remarque nous montre encore qu'on a
ï}^ et D~' sont évidemment des verseurs conjugués.
44. La notation exponentielle des verseurs nous permet de concevoir un quaternion quelconque comme une puissance d'un vecteur; car, si
^ r= a ( cosa + sin a . A ) r= a a",
nous pouvons poser
et, par conséquent, nous avons
{l5) uà = A'-
Il est clair que a' n'est plus unitaire, en général.
Vecteurs, yerseum et quaternions rôciproqaes.
45. Nous appelons (25) réciproque d'une expression quelconque le quotient de Tunité par cette expression.
D'après cela, et en vertu de la définition de la division (28), nous aurons, en appelant A l'expression donnée et X sa réciproque,
Soit d'abord un vecteur unitaire a. On a
d'où
Le réciproque d'un vecteur unitaire est donc ce vecteur changé de signe. « Réciproque » et « conjugué » sont, dans ce cas, identiques.
Pour un vecteur quelconque, on aurait a^^ — (^a)^,
L («tA)'j-''
et, par conséquent, le réciproque d'un vecteur quelconque s'obtient en changeant le signe et en divisant par le carré du module.
S'il s'agit maintenant d'un verseur
UJ = cosô 4- D sinô z= D*, on a (43)
d'où
X = D"-* =r ces — D sin ô.
Ainsi, le réciproque d'un verseur s'obtient en chan-
géant le sens de son angle. Là encore, il n'y a pas de différence entre le réciproque et le conjugué.
Le réciproque d'un quaternion A est évidemment le
produit de ^— - par le réciproque du verseur tC^ ; ou en-
Remarques, — L La multiplication de deux quaternions réciproques est commutative, puisque (25) il en est ainsi pour les biradiales que ces quaternions représentent.
IL Si B est le réciproque de A, A sera le réciproque de B, Car si -^ = a a",
a et le réciproque de B est
in. Le quotient - de deux biradiales quelconques
peut se mettre sous la forme —A. En effet, soit - = Ç,
d'où A^=^ BQ, Opérant par -^ X, il vient
Mais il faudrait bien se garder d'écrire pour ce quo- Uent A — » cette expression SQ^ étant en général très différente de Q.
EXERCICES
16. Les centres des triangles équilatéraux construits extérieurement sur les trois côtés d'un triangle quelconque forment un triangle équilatéral dont le centre de grapité est le même que celui du triangle donné.
Soient ABC le triangle donné, k\B'yC les sommets des triangles équilatéraux, P, Q, R leurs centres, k un vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure.
On a
ce qui nous donne
Rapportant tous les points à une origine commune 0, on a »
et
si nous choisissons pour le centre de gravité de ABC, ce qui donne a -h b -h c = o. Donc
(2) p~l[(B-c)K^-f c — aJ,
et de même
(4) B=i[(*-B)K»+B-cJ.
(' ) Il importe de ne pas oublier que l'unité d'angle est toujours l'angle droit.
— 6o — Multiplions la relation (2) par k' :
pJ^i[(b-c)r'+(c-a)J]
~ I [( C — A ) K=* -f- A — B J irr Q,
en vertu de la relation ( 1 ) . De même,
QK* =: R, RK = P OU -=-=-»
ce qui démontre que le triangle PQR est bien équilatéral.
L'addition des formules ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) donne p -i- q -i- r = o, de sorte que le centre de gravité de PQR est l'origine, c'est-adire le centre de gravité de ABC.
Remarque» — Cette dernière propriété peut s'étendre aux cas de triangles semblables quelconques construits sur les côtés d'un polygone plan. Le point moyen des sommets extérieurs de ces triangles sera le même que le point moyen des sommets du polygone. En effet, en appelant x un certain vecteur (non unitaire) perpendiculaire au plan de la figure, on pourra écrire
BP = BA.K«, p b~(b— a)k*, et de même
d*où, par addition,
(p-+-Q-4-R-+-...4-u) — (b -hc +...-+- M -f- a) =0, ce qui démontre la propriété en question.
17. Trouver le cosinus d'un angle d'un triangle sphérique^ en fonction des côtés.
Soient ABC le triangle et le centre de la sphère ( de rayon égal à Tunité ] . On a
COB = COA.AOB ou -:=-.-.
Les parties réelles de -? -? - étant respectivement cos«, cosô, cosc, nous pouvons écrire
cosa + ti - = ( cosb -h tl - I ( cosc + U - | • c V c/V a/
Prenant les parties réelles des deux membres,
cosfl = cos b cosc H-6(tl-»tl-|»
Or tl -5 b - sont deux vecteurs respectivement perpendicu-
laires aux plans GO A, AOB et dont les modules sont sin 6, sine. Donc (37)
6 ( Il - • U - I = sin ^ sine cos A \ c aJ
et
cos« = cosb cosc H- sin6 sine cos A.
Il est essentiel de remarquer que l'angle des vecteurs II - »
U- est le supplément de l'angle A. C'est pour cela qu'on a -f- cosAy et non pas — cos A, dans la formule obtenue.
Produits de plusieurs facteurs.
46. Si l'on a à effectuer le produit de plusieurs quaternions
^=:aA% ^=zbB^ C-= ccY,
par exemple, on pourra écrire
ABC. . . = abc. . . a*bPct. . . ,
de sorte qu'on sera ramené à des multiplications de verseurs.
Si les quaternions sont donnés sous la forme
il suffira de développer le produit
X (^0+ ^lll-+- ^Jl2+ ^313) (^0 -4- Cjli-f- Cjlj-h C3I3I. . . ,
en se conformant aux règles établies pour les unités
symboliques i|, I2, I3.
Les divisions se ramèneront à des multiplications en introduisant les conjugués, puisque, ainsi que nous l'avons vu plus haut,
