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on en fait tant d'usage dans toutes les branches des Mathématiques appliquées ( * ).

On ne s'étonnera donc pas que nous ayons tenu à appuyer constamment le début de notre exposition sur des considérations géométriques, avec une insistance qui pourrait sembler excessive et presque puérile sans les considérations qui précèdent.

Un mot seulement des notations. Comme dans ma Thèse de 1877, j'^^ ^^^ devoir adopter presque exclusivement celles introduites par M. Hoiiel, et qui me paraissent offrir des avantages considérables au point de vue de la clarté. Représenter constamment les caractéristiques spéciales par des lettres gothiques et adopter des caractères différents pour chaque nature de symbole ; faire, par exemple, que dans a on reconnaisse toujours un vecteur, dans a ou a une quantité algébrique, dans a un angle, dans^un quaternion, dans A un point, c'est, à mon avis, rendre lisibles des calculs qui parfois deviendraient sans cela assez difficiles à suivre. Je regrette vivement de rester en désaccord sur ce point avec M. Tait, le célèbre disciple d'Hamilton, qui trouve que M. Hoiiel a altéré l'œuvre du maître. Perfectionner n'est pas détruire.

Sur un point cependant, j'ai renoncé à la notation de M. Hoûel : c^est pour la représentation des fonctions vectorielles linéaires, qu'il désigne par □ ; ce signe a le

(*) Il est juste d'ajouter cependant que, même en France, il parait y avoir une tendance, depuis quelques années, à revenir de l'oubli injuste dans lequel on a laissé le calcul d'Hamilton. C'est ainsi que l'intéressant Ouvrage de M. Tait, jin elenientary Treatise on quaternions, qui a eu deux éditions en Angleterre, vient d'être traduit en français par M. Plahh, l'un de nos compatriotes. Cette traduction est actuellement sous presse, et tout permet d'espérer que la publication, confiée aux soins de M. Gauthier-Yillars, ne s'en fera pas trop longtemps attendre.

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défaut grave de ne pouvoir s'exprimer, et on ne peut le modifier que par des indices. Je suis revenu aux caractéristiques d'Hamilton, *, T, ....

Je résumerai maintenant de la façon la plus brève l'exposé de la division adoptée dans cette Introduction,

Le Chapitre V^ traite de Taddition et de la soustraction des vecteurs, et de leur multiplication par des quantités réelles. Je le termine par des considérations très simples sur les « points moyens » ou centres de gravité.

Dans le Chapitre II, le plus important pour Tétude de la méthode, je traite de la multiplication et de la division des vecteurs. C'est là que s'introduisent les éléments et les notations indispensables à l'intelligence de la doctrine. On remarquera la démonstration de la propriété associative de la multiplication, que je me suis efforcé de présenter d'une manière logique et aussi simple que possible, et qui est absolument fondamentale.

Immédiatement après, dans le Chapitre III, se trouvent indiquées des applications des notions précédentes à la géométrie de la ligne droite et du plan ; puis, dans le Chapitre IV, à la géométrie du cercle et de la sphère.

Le Chapitre V renferme des notions élémentaires sur la diffère ntiation des quaternions, qui me paraissent utiles pour l'étude des tangentes aux courbes dont on s'occupe dans les Chapitres suivants.

Les Chapitres VI, VII, VIII ont pour objet l'application des quaternions à des questions concernant l'ellipse,* l'hyperbole et la parabole, respectivement.

Dans le Chapitre IX, j'ai groupé un certain nombre de formules non encore étudiées dans ce' qui précède et dont l'usage est cependant d'une grande utilité dans les applications. Quelques exemples permettent déjuger de l'utilité de ces formules.

Le Chapitre X est consacré à l'étude des équations du

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premier degré ; il m'a semblé bon de le faire précéder Texamen des surfaces du second ordre. J'ai surtout insisté sur la méthode si intéressante inventée par Hamilton pour effectuer l'inversion de la fonction *.

Enfin le Chapitre XI et dernier a pour objet quelques notions sur la géométrie des surfaces du second ordre.

A la suite de chaque Chapitre se trouvent un certain nombre d'énoncés, proposés au lecteur comme exercices.

J'aurais désiré donner aussi quelques applications à la géométrie générale des courbes et des surfaces, à la Mécanique rationnelle et à certaines questions de Physique mathématique^ mais j'ai dû reconnaître qu'en entrant dans cette voie j'aurais excédé les limites que je m'étais tracées , celte Introduction aurait perdu le caractère de simplicité et de brièveté qu'il faut lui conserver si Ton veut qu'elle soit utile. Force m'a donc été, non sans regret, de renoncer à donner de plus larges développements aux applications.

Dans les calculs qui se rapportent à l'exposition de la doctrine, ainsi que dans les raisonnements, je me suis constamment efforcé de rendre l'enchaînement des idées aussi clair que possible, à tel point qu'on pourrait peutêtre me reprocher une minutie excessive et une trop grande insistance sur des choses presque évidentes; mais on ne saurait trop s'attacher à aplanir les difficultés lorsqu'il s'agit d'une étude nouvelle.

J'ai cru, au contraire, pouvoir me départir de ce système dans quelques-uns des exercices traités. Là, parfois, les solutions sont seulement indiquées, et le lecteur est appelé à développer un certain travail personnel en utilisant les notions antérieurement acquises.

On trouvera ci-après une bibliographie des quaternions, bien incomplète et insuffisante sans doute ; elle ne sera pas inutile cependant à ceux qui se sentiraient pous-