Toute section d^une sphère par un plan est un cercle

Prenons le centre pour origine ; soient a le rayon de la sphère et b le vecteurabaissé du centre perpendiculairement sur le plan sécant. L*équation de la sphère est x* = — a* ; celle du plan sécant, 0b (x — b) =: o. Posons x — b =i y. Alors

Y*-hB* -f 26bY =r — a^ ou Y* = b* — «*,

ces sécantes et H le point de rencontre des tangentes en D et en E.

Alors B appartient à la corde des contacts correspondant à H, laquelle a pour équation Shy = — a^, et, par conséquent, on a

ce qui montre bien que le point H appartient à la corde des contacts répondant à B.

Cette définition nouvelle ne suppose plus que le point B soit extérieur; elle peut donc s'étendre à un point quelconque du plan, et la droite ainsi obtenue est dite la polaire du point B, qui, réciproquement, est le pôle de la droite.

Il est évident que la polaire est perpendiculaire à la droite qui joint le pôle au centre du cercle.

Réciproquement, si par les divers points d'une droite on mène des couples de tangentes, toutes les cordes des contacts iront passer par le même point.

On le reconnaît immédiatement en mettant l'équation de la droite sous la forme 6kx = — a^.

75. On peut reconnaître que toute sécante issue d'un pôle B est divisée harmoniquement par la polaire et par la circonférence. Pour cela, prenons pour origine le point B; l'équation de la polaire devient S c(x — c) =a*-, et, si nous la coupons par la droite de direction u (u étant un vecteur unitaire), le point f nous sera donné par la relation

J6cF=:a*— c* OU f6cu=:«* — c*. Maintenant, l'équation de la circonférence est

et, en la coupant par la même sécante,

x*v\ — ixBcv = c' — a* ou

*• + 2ar6cu -4- c* — «•= o.

En appelant d, e les deux racines de cette équation ( longueurs de BD et de BE), nous avons

I I 5iScu 2

d'après la relation précédente en f. La propriété en question est donc démontrée. On pourrait également, si on le jugeait bon, la prendre pour définition des polaires.

76. Il serait facile d'étendre ces considérations à la sphère et d'établir ainsi la théorie des pôles et plans polaires et des droites polaires. Les calculs seraient identiquement les mêmes que ceux qui viennent d'être employés. Il suffirait de faire disparaître la restriction que toutes les figures sont dans un même plan.

On verrait ainsi qu'à tout point pris comme pôle répond un plan polaire ; que, lorsque le pôle parcourt une droite quelconque, tous les plans polaires correspondants se coupent suivant une droite perpendiculaire à la première et réciproquement; que ces deux droites jouissent de propriétés absolument réciproques l'une de l'autre ; que, l'une étant extérieure à la sphère, l'autre coupe toujours la sphère, etc. Mais nous nous bornons, pour abréger, à ces indications générales, qui pourront fournir au lecteur matière à d'utiles exercices.