L. — Quaternio/iS
EXERCIGES.
34. Si l'on mène des tangentes aux sommets d'ufi triangle ABC inscrit dans un cercle , les intersections P, Q, R ^fe ces tangentes avec les côtés opposés sont en ligne droite.
Cette propriété pourrait s'établir sans peine, comme réciproque de celle de l'exercice 33, par les propriétés des polaires. Nous la démontrerons ici par un calcul direct.
Nous avons
p = A -4- xAP = JB 4- (i — j)c.
Opérant par j5.a X, et remarquant que AP est tangente au cercle, il vient
jeA*=r^AB-f- (i— j)j6ac, d'où r~ ^^, ~^ *
Donc
p5a(b— c) =zbSa[a — c) — c6a(a — b).
On a de même
q$b[c — a) "- c6b(b — a) — aôb[b — c),
RJ6c(a— b)::::ia5c(c— b) — B0c(c— a).
Delà, par addition, une relation de la forme
p -hq -{- r étant nul . Donc (13) les points P, Q, R sont en lionne droite.
On établirait sans peine une propriété analogue pour la sphère .
Corollaire. — Le rapport ^ est donné par
r Bkc—B
fiC
g j6ab — j6bc
ou
cosrîB — C0S2A sinC sîn(B — A) ou encore ^
