L. — Quatemions, O

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Par conséquent, la différentielle peut s'écrire

c'est-à-dire, en posant ^ = pt^-h Pi^x-h p\\%-\- p^'izi

dfzzzBPdX.

P est ce qu'on peut appeler la dérivée quaternion de la fonction réelle J.

Si l'on avait une fonction réelle de plusieurs quaternions /[X, JT, Z, . . . ), on verrait sans peine, en faisant varier X, Y^ Z, . . . successivement, qu'on a

dfz=zBPdX'{'f^QdY-^^RdZ-^

P, Q, Ry. . . sont les dérivées partielles de la fonction réelle^ par rapport aux quaternions X, J^, Z, . . . .

Il est clair que les mêmes conclusions subsistent si les variables indépendantes sont des vecteurs x, y, z,.. . , et non plus des quaternions. Seulement ^Xo disparait, de même que dof e\ poi dans le calcul ci-dessus, de sorte que les dérivées P, Q, . . . se réduisent elles-mêmes à des vecteurs et qu'on a, pour

y (X, Y, z, , . . ), d/^^ ôpr/x -f- $qdY -h $fidz -h . . - .

Dans les applications, l'usage de ces dérivées partielles géométriques est souvent très avantageux.

Définition de l'opérateur v.

86. Hamilton a représenté par le symbole V l'opération complexe i| -; f- ii h I3 -ï— s'appliquant à une

* rtX| dXf dx^ * * ^

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fonction d'un vecteur, c'est-à-dire que, posant

nous aurons

r, s àf df df

Supposons qu'il s'agisse d'une fonction réelle. L'expression yy(x) se réduira à un vecteur, et, comme

nous aurons aussi

Supposons maintenant qu'on ait écrit

/(x) = const.,

équation qui représente évidemment une surface. Nous tirons de là

et par conséquent

0[v/(x)rfx]=o.

^f[x) représente donc un vecteur dirigé suivant la normale au point correspondant de la surface, puisqu'il est perpendiculaire à dx.

Il est facile de reconnaître, si l'on considère deux surfaces de la même famille obtenues en faisant varier la constante, que le module de ^/{x) est inversement proportionnel à la distance normalexie deux surfaces infiniment voisines.

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Différentiation des fonctions implicites.

87. Si Ton donne une relation y( -X", JT) = o, on en peut tirer, en écrivant

une équation qui contiendra dX et dF, Le premier membre sera une fonction linéaire et homogène de ces deux différentielles. On est ainsi ramené à une autre question (celle de la résolution des équations) dont nous parlerons sans doute un peu plus tard, mais qui est en général assez compliquée. Dans un grand nombre d'applications, les calculs peuvent se simplifier, du reste, dans une proportion considérable.

EXERaCES PROPOSÉS SUR LE CHAPITRE V.

Établir les formules suivantes :