L. — Quaternions, l

AB, d'une longueur égale à celle de cette première droite, et nous dirons que le vecteur BC est égal au vecteur AB.

La définition qui précède nous conduit tout naturellement à représenter par le même symbole deux droites quelconques de Tespace ayant même longueur, même direction et même sens, et à dire que ces deux droites sont des vecteurs égaux. L'expression d'égalité, de même que le signe = employé pour la représenter, prend ainsi un caractère plus général qu'en Algèbre ordinaire.

2. Si Ton choisit un point arbitraire de l'espace pour origine fixe, les divers vecteurs qui se présenteront dans une question quelconque pourront être ramenés à avoir tous leur origine en ce point fixe O ; et, OA étant parallèle à CD, par exemple, de même sens et de même longueur, nous écrirons

(i) CDmOA^A.

Généralement, lorsqu'un vecteur aura ainsi une origine fixe, nous le désignerons par la même lettre qui représente son extrémité, écrite en petite capitale.

3. Le nombre qui mesure la longueur d'un vecteur, rapportée à une certaine unité, est désigné par grandeur j module ou tenseur de ce vecteur ( * ).

( * ) L'expression toute naturelle de grandeur est celle employée par M. Bellavitis dans sa théorie deséquipollences; la dénomination de module correspond à celle qui est couramment employée dans la théorie des quantités complexes, et, quant au terme de tenseur, dont nous ferons moins souvent usa{;e, il y avait lieu de le mentionner, parce qu'il a été introduit par Hamilton et parce qu'on y trouve la justification de la caractéristique Q^, qui sans cela paraîtrait peut-être peu rationnelle.

Celte grandeur se désignera soit par la caractéristique gr, soit par la caractéristique ^, soit enfin par la même lettre qui représente le vecteur, écrite en caractère romain. Ainsi Téquation (i) ci-dessus entraîne pour conséquence

grCD = grOA = ^OA = ^a = a.

Vecteurs de sens contraires.

4. Il est évident que le vecteur AB et le vecteur BA sont essentiellement différents, dans la théorie qui nous occupe; mais, si la figure qui a subi d'abord la translation AB subit ensuite la translation BA, elle revient à sa position première, comme si elle avait gardé le repos. 11 est donc naturel de regarder comme nulle la somme algébrique des deux vecteurs AB et BA ; par conséquent, si le premier est désigné par -H c, le second devra l'être par — c. Les signes -j- et — exprimeront ici, comme en Algèbre ordinaire et en Géométrie, les deux seiu différents selon lesquels on peut suivre une même direction, mais ils ne présentent pas de signification absolue.

Addition et soustraction de vecteurs parallèles. — Multiplication par des quantités algébriques. — Vecteurs unitaires.

5. Tant que nous considérerons des vecteurs de même direction, il est évident, d'après ce qui précède, que l'addition et la soustraction s'opéreront d'après les règles de l'Algèbre ordinaire. Ainsi, dans l'exemple du n° 1, le vecteur AG sera égal à AB + BG ou sAB. Si nous posons AB = À, AG=;2A. De cette première notion on passe immédiatement à la multiplication par un nombre entier quelconque, puis par un nombre frac-

tionnaire et enfin par un nombre incommensurable, ce nombre pouvant être soit positif, soit négatif, en vertu de la convention du numéro précédent.

Le symbole à peut jusqu'ici se traiter comme une quantité algébrique ordinaire, et nous pouvons énoncer les propositions suivantes :

Deux vecteurs parallèles ont entre eux le même rapport que les nombres qui m^esurent leurs longueurs, ce nombre étant positif ou négatif, selon que l-es vecteurs considérés sont de même sens ou de sens contraires.

Tous les vecteurs parallèles à une même direction peuvent se représenter par des produits de nombres algébriques réels par un même vecteur.

Réciproquement, plusieurs vecteurs représentés par 772 i A, 7712A, m^ky ... sont parallèles.

Le symbole à ne pouvant s'appliquer qu'à une seule direction, il en résulte que tout vecteur ayant une direction différente ne saurait être représenté par le symbole pkf p étant un nombre algébrique, et il faudra recourir alors à un autre symbole, tel que b.

6. On voit, sans qu'il soit utile d'y insister davantage, que toutes les règles de l'Algèbre ordinaire s'appliquent rigoureusement aux additions et soustractions de vecteurs ayant une direction unique, et aux multiplications de ces vecteurs par des nombres algébriques réels.

7. Si, dans la direction du vecteur à et dans le même sens, on choisit un vecteur ayant une longueur égale à l'unité, ce dernier sera dit vecteur unitaire, et nous le représenterons par la notation Ka. D'après cela, et en

vertu des n°* 3 et 5, nous pourrons donc écrire

(2) A=:aA.Ï(A = a.f A,

le module étant essentiellement positif.

Addition et soustraction de vecteurs quelconques.

8. Soient AB et BG deux vecteurs de directions différentes. Nous dirons par définition que V addition de ces deux vecteurs donne pour somme le vecteur AG, qui représente évidemment à lui seul la même translation que celle résultant des deux translations successives AB, BC.

Pour appliquer cette définition à deux vecteurs quelconques, on transportera le second à la suite du premier, de telle sorte que l'origine de l'un coïncide avec l'extrémité de l'autre. Si AB = A, LM = B, par exemple {fig» i), doivent être ajoutés, nous construirons BG = LM == b, et AG = À-}-B = c sera le résultat de l'addition. En efTec tuant cette addition dans un ordre inverse, nous aurions puconstruire AD = LM = b, puisDC = AB=A, et la somme eût encore été AG = c, car la figure ABGD est un parallélogramme. Par conséquent, l'addition des vecteurs, comme l'addition algébrique ordinaire, jouit de cette propriété importante, représentée par la relation

(3) A 4- B zrz B -h A.

On conclut immédiatement de là que, dans une somme de plusieurs vecteurs, on peut intervertir comme on l'entend les vecteurs sans altérer le résultat.

Remarque* — Il est bien évident que, dans l'addition de deux ou plusieurs vecteurs, la longueur de la somme

n'est pas du tout égale, en général, à la somme des longueurs des vecteurs ajoutés.

9. Soit que Ton définisse la soustraction comme en Arithmétique, par l'opération inverse de l'addition, soit que l'on emploie la notion des vecteurs de signes con-

traires (4), la différence des deux vecteurs AG = c, AB = A {fig' i) sera donnée par BC = b, c'est-à-dire qu'on aura

AC — AB = AC 4- BA =r BA -+- AC = BC.

Il n'y a donc pas à considérer la soustraction comme une opération particulière ; elle se ramène immédiatement à l'addition, exactement comme en Algèbre ordinaire.

Remarques. — I. X étant un point quelconque, on peut toujours écrire le vecteur AB sous la forme XB — XA, ou encore AX — BX.

IL La différence AB — CD est identique à