L. — Qiiaternions * l

face, nous aurons

B(i -4- za)*(» -4- zk] = 1, 5( ï — zk) ♦ (ï — «a) = I,

et de là, par soustraction,

CVst Inéquation d*un plan passant par le centre. Ce plan diamétral f correspondant à la direction a, est donc parallèle au plan tangent à Textrémité du diamètre parallèle à A.

141 . Soient BOC ce plan, B et C des points appartenant à la courbe d'intersection avec la surface. On a, en vertu de l'équation (i), quel que soit b,

(a) j9b4a = o, d*où J$a4b=o.

Donc, A représentant le point de rencontre de la direction a avec la surface, le plan diamétral correspondant à la direction OB passe par A.

Si nous supposons maintenant que ce dernier plan soit AOC, nous avons

j8ic4B = ou J6iB^G = 0;

mais, puisque les relations (a) sont indépendantes du point B de la section BOC, on a déjà

Par conséquent, le plan diamétral correspondant à la direction c n'est autre que AOB.

Nous avons ainsi trois demi-diamètres OA, OB, OC tels, que les cordes parallèles à chacun d'eux sont divisées en parties égales par le plan des deux autres. C'est ce qu'on appelle un système de denii^diamètres conjugués;

les Irois plans qu'ils formenl sont des plans diaméiraujc conjugués.

Il est à remarquer qa*ici, dans notre manière de parler, noas raisonnons implicitement sur un ellipsoïde, lorsque nous supposons que les points A, B, Csont réels; mais il est aisé de se con\aîncrey en y regardant d^un peu près, que cela n'altère pas la généralité des résultats, qui peuvent être étendus aux autres surfaces à centre unique.

142. En résumé, entre trois directions conjuguées a, B, c, nous avons les relations

^3) $a*b = 5b*a=: 1^b*czzz5c*b=:5c*ai=ôa*c = o.

Le vecteur c est donc perpendiculaire à la fois à ^a et ^By et, par suite, il est de la forme h^^^a^b; de même, ^c est perpendiculaire à a et b et égal à iv^Uab. Ainsi,

^4) Anz |«||*B*C, B = t*U*C*A, c = («'b^A'^By

(5) ♦a = Ii'IJbc, ♦Brzzi''UcA, ♦ci=<1''UaB.

Il y a lieu de remarquer aussi la relation

(6) w^*-*Uab = «'U*A*B,

dont on saisira toute Tanalogie, nous pourrions dire ridentité, avec les considérations présentées au n° 126.

Nonvelle forme de récniation de l'ellipsoïde.