Y*X=I OU

Il est évident, d'après cela, que * x est un vecteur normal en X à la surface.

136. Soit ON'une perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent. Nous avons

et de plus, puisque N est dans le plan tangent,

z6*x*x = z(*x)*=ii.

Donc z = -, — TT» et le module de ON ou de 2* x est

^N=r:= — 9 d'où N = (*x)""*.

Ainsi *x représente un vecteur normal en X; et la longueur de ce vecteur est l'inverse de la distance du plan tangent au centre.

De là encore on peut tirer aisément l'équation de la surface podaire, le centre étant pris pour pôle. Nous avons en effet

d'où, opérant par *-*,

Substituant dans l'équation de la surface, (3) Sn-**-*n-»=:i.

137. Supposons que des plans tangents passent tous par un point fixe P. Soitx le vecteur d'un quelconque des points de contact. Alors, d'après l'équation (2),

(4) Sx*p = i,

ce qui montre, ♦? étant un vecteur constant, que tous les points de contact sont situés dans un même plan perpendiculaire à ♦p, c'est-à-dire parallèle au plan tangent au point de rencontre de OP avec la surface. Ce plan, dont la section avec la surface donne la courbe des contacts, est le plan polaire du point P.

138. Soient maintenant des plans tangents parallèles à une droite donnée a. Le point x -hzk doit appartenir au plan tangent, quel que soit z. Donc, si nous prenons l'équation du plan tangent sous la forme ( 2 ), nous avons

0X*(x -h Za) r=r I,

c'est-à-dire, puisque le point X est sur la surface,

La courbe de contact est donc située dans un plan qui passe par le centre. Ce plan est perpendiculaire à ♦a.

Si nous avions mené par le centre le vecteur parallèle à A jusqu'à la surface, la normale au point de rencontre eût été parallèle à *a. Donc le plan de contact est parallèle à ce plan tangent.

139. Dans l'hypothèse du n°137, on peut se proposer de déterminer le cône circonscrit correspondant au point P, c'est-à-dire le lieu des tangentes à la surface issues de ce point.

Le point de contact d'un des plans tangents étant X,

nous aurons, pour le vecteur d'un point quelconque de la tangente,

De plus,

Sp*X = I, 0X*X=:l.

Si l'on remplace x par sa valeur tirée de (6), puis qu'on élimine z entre les deux équations résultantes, on trouve aisément

6y*y.6p*p — Sy*y — Sp*p=: ^6y*p)- — 2Sy*p

ou, en ajoutant i de part et d'autre,

(7) (6y4>y — i)(Sp*p — i)=:(Sy*p — l)^.

Telle est l'équation du cône circonscrit cherché. Elle se réduirait à

j6y*y(Sp*p — 1) 1^ [Sy*p)

si l'on transportait l'origine au sommet P.

Si dans l'équation (y) on remplace p para — A, puis si l'on fait croître a indéfiniment, il vient à la limite

(8) (6y*Y— l)SA*Arz: (Sy*a)2.

C'est l'équation du cylindre circonscrit parallèle à la direction a.

Plans diamétraux et diamètres.

140. Proposons-nous de chercher le lieu des milieux des cordes parallèles à une direction donnée a»

Soit 2 le vecteur de ce point milieu ; les deux extré-» inités de la corde considérée auront pour vecteurs z-f-^JA, z — ZA. Ces deux points appartenant à la sur-