L'équation en s correspondant à la fonction * est

S^ — /7ÎJ 5* H- /UiS — tn z=.o;

nous aurons, par conséquent, pour la direction de l'axe x, correspondant à la racine jj,

d'où

si nous appelons a^ la longueur du demi-axe suivant x^. Mais de la formule (i) nous tirons

(3) *-*x, = -fxi.

Si donc nous cherclions la longueur ij du demi-axe de l'ellipsoïde

(4) 0x*-*x = i, dirigé suivant Xj , il viendra

I = jSx, ♦-*x, = i xj = — - éj,

Ainsi les trois racines de l'équation en 5 représentent, en signe contraire, les carrés des demi-axes de l'ellipsoïde (4).

Si nous augmentons les trois racines de la même quantité h, les différences des carrés des axes de l'ellipsoïde (4) ne seront pas altérées. Or Téquation en s s'obtiendra en transformant 5 en 5 -h h, ce qui revient, dans l'équation cubique symbolique, à transformer* en * H- /i, et, par conséquent, ♦-* devient

Il suit de là que l'équation

(6) $x{*-hh]-'x=zi

représente toutes les surfaces homofocales de l'elb'psoïde (4) lorsqu'on y fait varier le paramètre /i.

147. On peut déduire de là que deux surfaces homofocales du second ordre se coupent orthogonalement. Soit en effet une autre surface homofocale à (6) :

Si X est un point commun aux deux surfaces, les normales en ce point ont respectivement pour directions

H — (t-f-^j-ix et H —;♦-+- A';-'x.

De là

les fonctions (*-|-/i)~*, (*-h/i'j^' étant conjuguées à elles-mêmes.

Or on a Tidentité symbolique

Par conséquent, à cause des équations (6) et (7), il \iendra

à moins que h = h' ,

Donc, si les deux surfaces homofocales ne coïncident pas, elles se coupent orthogonalement.

Sections planes.

148. Soit un plan passant par le centre de la surface et perpendiculaire au vecteur a. La courbe d'intersection sera déterminée par le système des deux équations

(i) j6ix*x = i, Sax =z o;

Si Ton veut en trouver les axes, il faut chercher les

— 'il 7 —

directions qui rendent i^x maximum ou minimum, c'està-dire qui donnent d^x = o ou

(2) ^ Sx^/x = o.

Or, en différentiant les équations (i), nous avons

(3) S*xrfx=:o, Bxdx=zo\

dx doit donc être normal à la fois à A, à 4»x et àx; donc ces trois directions sont coplanaires, ce qui donne