AX*X=:O
11 est d'ailleurs visible que Ax est un vecteur.
Il resterait à résoudre le système des équations ( i ) et (4).
La seconde équation (1) peut s'écrire
Sa<I»~~**X rzr o ou S^X^^^A^O*
Ainsi *x est perpendiculaire à *""* A et à Ax. Donc *x est de la forme
*X=z:81)(*-1a.Aâ).
Opérant par ^ . x X , on trouve
I == 3x'Sa*~^a;
de là
Sx*-'a
XHX — X — A y
Sa«I»^a
X— —Il --x«*Ha,
et enfin
Cette équation peut encore s'écrire
K*-ir*=°-
Or, d'après les formules (la) et (i5) du n* 126, nous avons, en remplaçant dans la première de ces formules g"
en sorte que l'équation devient, sous forme ordinaire,
En la résolvant par rapport àx-, on obtient les carrés des demi-axes de la section. Le produit des racines est
/^«Sa4»~*a
et par conséquent l'aire de la section, lorsqu'elle est elliptique, a pour valeur
Si les deux racines xJjXj sont égales, la section est circulaire.
149. Nous avons vu au n° 132 que la fonction *x peut se mettre sous la forme
*x=i:/x+ /wlJ(i, + /n3)x(ii-- /ÎIj), ou, si nous désignons par p, q les vecteurs = — 5
— aïg —
«tXzzz /X -\- l)pXQ,
L'équation de toute surface* du second ordre à centre unique peut donc s'écrire
(7) /x*-h 5pxqx =rl,
ou encore (H4)
,(8) î0px6qx + [/ — Spq)x' = i.
Il est évident sous cette forme que les directions p et Q sont perpendiculaires aux sections circulaires, car, si nous coupons la surface, par exemple, par le plan 0PX = o, il nous reste
(/-Spq)x'=i,
équation d'une sphère qui a même centre que la surface.
Génératrices rectilignes.
150. Soit toujours 6x*x = i Téquation de la surface. Si A est un point de la surface et qu'il y ait, passant par ce point, une génératrice rectiligne parallèle à b, l'équation doit être satisfaite pour tout vecteur a -f- zb, quel que soit z.
Cela nous donne
6a4»a + 226a*b-i-3'5b<I»b = i, c'est-à-dire
(l) SAl»Bi=rO, Sb*B=:0.
La première de ces équations est celle du plan diamétral conjugué à la direction a, la seconde celle du cône
2ÎO
asymptolîque. L'intersection de ce cône par ce plan diamétral donne donc les directions des génératrices rectilignes passant en A.
Les équations (i) nous donnent
Opérant par 6p, puis par 5q, p et q étant deux vecteurs quelconques non coplanaires avec a,
[l) 6b(j*P -h 1)ap) =: O, 6b(j<I»Q -f- Uaq) = O.
De là
5*a(j*p 4- IJap) (7*q -h b aq ) = o, ou
wj*0APQ + j6*a[*p1Jaq 4-Uap*q) — 6a4»a5apq = o.
Or
lJ(*P.llAQ)=r: qS(*P.a)— -aS^*P.q), t)(UAP.*Q)ir: — pB(*Q.a)-|-aS(*Q.p),
et la somme de ces deux expressions est
qS(4»p.a) — p0(*q.a) = qSp*a — p5q4>a=:U(*a1Jpq),
Donc le coefficient du terme enj se réduit à
5*a*a11pq = o,
et Téquation devient
my^zziz 6 A 4» A, d'où
Mais, d'après les équations (a), nous avons
WB — : lJ(j4»p -I- lJAp)(r*Q H- IJaq)
OU, par des transformations analogues aux précédentes,
UB = w/'4»"*lJpQ -h jU.*aUpq — a0.aUpq,
équation qui, selon le signe de j^ donnera l'une ou l'autre des deux génératrices ; rny'^ est d'ailleurs toujours égal à I.
tlpQ est un vecteur quelconque, non perpendiculaire à A. Désignons-le par t, et il viendra
ttB = *~*T — A^^AT
±y/lb(*A.T)
= b(4.A.t)A*-*T)dli/-U(*A.T),
Cela peut s'écrire encore
ttB = *-*U(AlJ*A.T) JZ!/-!)*
