CC
faict
et 260
Cf (64+1/1458)
Touchant la division des multinomes radicaux, soit à diviser 85 + 1/588 par 5 + ^ 1 2: on les disposera com me il faut , le diviseur sous le dividende; disant combien de 5 en 85, il y a 7 fois; donc 7 fois sont 85 , de 85 reste rien ; puis 7 fois v^ 1 2 est v^ 588, de |/ 588 reste rien: ainsi que le quotient est 7: mais quand la division ne succède pas sans rester, comme si on veut diviser 80 + |/720 par 3 + 1/ 5, en faisant comme devant» combien de 8 en 80 ? il 7 a 10 fois; donc 10 fois 8 sont 80, de 30 reste rien ; puis 10 fois 1/ 5 font |/ 500, lesquels ostez de \/ 720, reste \/ 20 [il ne faut estre esmerveillé qu'ostant|/ 500 de y" 720, il ne reste que v^ 20, car voyez la soubstraction çy devant] donc le quotient seroit 10 ^ que
si on amplifie la ûraction par 8 — |/ 5 (binôme disjoinct correspondant aunominateur conjoint) on aura lO + t/ll| — 2| c'est 7J + |/11^ pour le quotient requis.
Autrement on pouvoit d^abord amplifier les nombres donnez (car on les peut amplifier ou abréger comme on voudra, comme les nettes des rompus) par un nombre qui correspond au diviseur, comme icy par 8 — |/ 5, à fin que le diviseur soit simple nom, alors on aura 80+ 1/180 à diviser par 4 (au lieu de 30 + \/720 par 8 + {/b) viendra comme devant : & ainsi des autres.
Soit à diviser |/32+ 1/27+5+ 1/6 par l +|/2+ 1/3 : multipliez Tun & l'antre par le correspondant trinomie du diviseur qui est 1 — 1/2+|/3 ou— 1+]/2+ {/8 ou 1 + ^/2 — j/8 (tellement que ce soit quelque cho-
C se
86 n'importe^ or — 1/8 — |/2-|-l^t moins que rien ^ toutesfois on ne delaisseroit d'en venir à bout^ car multipliant Pun & Tautre on aura — 12—1/82—1/48— 1/24— |/96 & diviseur — 4— |/ 24 lesquels autrefois multipliez par le correspondant du diviseur — 4-|-|/249 on aura un simple diviseur : mais quand il est possible comme icy^ j'aymerois mieux prendre 1-|- 1/2 — v^8, pour amplifier les donnes^ car de premier abord j'auray un nombre simple pour diviseur assavoir |/8, & pour dividende 4-|- V^72, donc le quotient sera ^24-8: notez que quand on multiplie 1/32+1/27+5+ 1/6 par 1+^/2 — 1/8, alors il y a trois nombres ôommuns 8+5—9, qui valent 4;JSc puis i/27+ 1/12 — 1/75, qui n'est rien, non plus que i/54+i/6 — 1/96« mais i/ 50+1/82 — 1/18, vaut |/72, comme en l'addition & soubstraction précédente.
Notez aussi que plusieurs trinômes se peuvent multiplier par des nombres facils a trouver, ainsi que leur produit soit nombre simple : comme quand le quarré de l'un est esgal aux quarrez des deux autres, exemple |/2+3+|/l 1 , icy le quarré de 11 est esgal aux quarrez de i/ 2 & de 8 , iceluy |/ 11 ayant d'un costé plus on prendra un moins s'il est possible, autrement on changera les deux autres comme icy.
produit v^72 produit |/200
Car alors le produit, est le double produit des deux moindres nombres, aucune fois il y a un quadrinome, & trinôme qui produisent un simple nombre, comme i/80+v/108 — i/150—|/10, & 8+1/5 + v/10, car leur produit est 28 seulement; puis que 20+ 18 — 10 est 28: & 1/800 — 1/460— 1/50 n'est rien, ny non plus i/540 + i/240 — 1/150, ny aussi 1/IO8O— 1/750 — 1/8O.
De l'extraction des Racines des muitinomes Radicaux.
Et premièrement de V extraction de la racine quarree
des binome$.
TOut ainsi qu'à l'extraction de la racine quarrée des nombres on ponrroit dire que la racine quarrée de 25 est 1/ 25 , mais i cause qu'on la peut expliquer quelquefois comme icy 5, &aucunefois non justement, comme la racine quarrée de 8 est ^8, ainsi aussi es binômes la racine
cine quarrée de 74- \/^> est \/ (7-|- V^^) ^^^^ on la peut expliquer plus brieveoienty assavoir 2-f v^3; & aucunefois non pas si clairement comme racine quarrée de d-f* V^f est |/ (8-|- 1/7) or Euclides descrit 6 espèces de binômes conjoincts par 4- comme dessus^ & 6 binômes disjoincts par — : dont les trois premiers tant des conjoincts que disjoincts^ reçoivent racine.
Règle générale pour extraire la ]/ des binômes.
Soit donné 7-\'f/4t8i\ faut trouver sa racine.
(49 quarrez des noms <^
différence 1
sa racine quarrée 1
Conjuguée avec le majeur nom 7 Donne somme, & différence , 8 & 6 Les moitiés 4 & 8
La {/ de chacun est 2b\/8
Lesquels liez avec le mesme signe donné 2 -f {/S sera la racine requise. Tellement que la ^ du binôme disjoinct 7 — ^48 sera 2 — 1/8, 8s ainsi des autres: comme la v^ du binôme conjoinct 6 -|- )/ 82 sera 2 -j- i/ 82 : item la racine quarrée du binôme |/18-|-4sera W 8-\-}N 2: finalement la racine quarrée de v/80 -f v^60 est \V 45 -f >V 5.
Mais de ceux lesquels on ne peut pas réussir comme dessus sans commettre pétition de principe on fera comme s'ensuit : la racine quarrée de 54-1/12, c'est |/ binomie 54-V''^2 > on ainsi marqué \/ (54-1/12) que si on se veut servir de la reigle précédente, en commettant la pétition de principe, on dira que c*est,
lequel vaut autant que |/ (5 -|- 1/ 12) Semblablement |/ (6 — |/ 12) vaudra i/ (2^ 4- 1/ 8|) — |/ (2 J — |/ 8^^)
Touchant donc la racine des binômes, il faut sçavoir, comme il a esté dit, qu'il n'y en a que de trois sortes , desquelles on puisse proprement extraire la racine, (j'appelle binôme tant conjoint par 4- que disjoint par — , & ce qui se dit de l'un se peut entendre de Tautre :) assavoir binôme premier, second & troisiesme; mais des 4, 5, ft 6« binômes, on ne peut pas Textraire sans plus grand inconvénient.
Or la racine de binôme premier, est binôme.
C 2 |/de
l/de binôme deuxiesme est bimedialle première. |/ de binôme troisiesme est bimedialle seconde. Voila tout, il est Tray que des six, qu^Euclide appelle Binôme, bimedialle tant première que seconde. Ligne majeure. Ligne pouvant un rationel & un medial, & finalement de la ligne pouvant deux mediaux: le quarréquarré d'une chacune est binôme premier : & ainsi des résidus ou disjoints.
Le binôme premier multiplié par un nombre absolu ou commun fera un binôme premier: comme 8 -f- 1/& p&i^ 2, fait 6 -j-l/^O.
Le binôme premier multiplié par un simple radical, tel que le moindre nom du produit soit absolu, ledit produit sera binôme deuxiesme, comme 8-f-v^6 multiplié par |/20, viendra |/180-f-10 binôme second.
Le binôme premier multiplié par un simple radical, tel que le moindre nom soit encor radical (c'est à dire tous deux) ledit produit sera binôme troisiesme: comme 8-}-V^& p&ri/8> viendra |/274-|/16 binôme troisiesme.
Or binôme premier, est lors que le majeur nom est absolu, & la différence des quarrez des deux noms est aussi quarré: comme 5 4*1^^^ ^^ b^* nome premier, la différence des quarres 25 & 21 est 4, qui est aussi quarré.
La ligne majeure est admirable en cela, que le majeur nom est aussi une ligne majeur, fr le moindre nom est une ligne appellée mineur, & ainsi à l'infiny: de mesme de la mineur.
Finalement la racine qnarrée des multinomes se pourra faire suyvant la manière dont les autres autheum se sont servy; ce que j'eusse mis icy, n'eust esté pour éviter prolixité , & aussi pource que je n'ay rien cerché de commode là dessus, n'y rien d'extraordinaire, seulement ay escrit une reigle à l'extraction Cubique, des binômes Cubes, comme s'ensuit: car n'estant Cubes, ils n'auront nulle autre solution, que par la pétition de principe, mettant une marque devant, que la racine Cubicqne s'en doit extraire: faut noter en passant que personne n'en a donné de meilleure, celle de Raphaël Bombelle ne vaut rien.
Reigle servant à Textraetion de la racine Cubioque
des binômes.
L'Extraction Cubicqne des binômes n'estant encor inventée de personne, on se pourra servir de la reigle suy vante.
Soit
Soit à extraire la CC de 72+^5120.
quarrez des noms { j. , «^ /
différence 64 dont la racine Cubicque 4 Ce 4 monstre que les quarrez des noms requis différent de 4' j & que l^absolu 72 estant nom majeur, qu'aussi en la racine requise le majeur nom sera absolu: D'avantage les majeurs noms sont commensurables , aussi les mineurs de la puissance & racine.
2 4- 1/ Donc ayant fait une table comme icy à costé , où les quarrez
3 -f- ^/ 5 des absolus excédent les quarrez des radicaux en 4 (assavoir 44*1/20 4 susmentionné) on doit estre certain que le binôme requis 54-1/29 sera dans icelle table, si non, la racine Cubique requise ne se
&c. pourra exprimer qu'ainsi ce (724-V/5120). Et pour cognoistre si la table est assez prolongée , il faut voir si le majeur nom du dernier binôme 5, est plus que racine Cubicque du majeur
nom donné 72 (ou bien si }/ 29 est plus que CC >/5120) ce qu'estant ainsi cela me certifiera en avoir assez.
Parquoy pour venir à Finquisition de la racine Cubicque, voicy comment: je considère quel nombre c'est, qui entre les noms majeurs, mesure le majeur nom donné, Awreibarque plosieurs comme le 2, le 8, & le/4, je fais de mesme avec les moindres noms & trouve y/ 5 aussi |/ 20, & qui plus est commensurables ) au doni^ )/ 5 120: mais puis que |/ 20 est plus que la racine Cubicque du donné \/ 5120, il ne vaudra rien, & £ondud que 84-t/^ Bc^ 1a racine Cubicque requise de 724-1/5 1 20; laquelle racine Cubicque doit avoir le mesme signe que sa puissance; assavoir la racine aussi bien que la puissance, selon 4- ou — : (Notez que cest A, 4 est tousjours le \ du nombre des (1 ), de Pequation qui estoit ^origine de caste question Cubicque ) Mais poui^en estre plus certain , il la faudra faire
passer ceste espreuve. ' ^
72 qui doit estre Tun des deux noms correspondant à B premièrement pris. 3 C Secon-
Quarréde B triple qoarré de C somme
lequel multiplié par B Tiendra
Seconde preuve.
Cluarré de C triple quarré de B somme
lequel multiplié par C viendra
V^5120 qui doit estre l'autre nom correspondant àO.
Geste preuve est plus facile que de Cuber la racine trouvée : elle est tirée de la suyvante figure.
Soit un binôme conjoint B -{- C.
Son Cube sera B (B q + C » ) + C (B j + C q)
Soit un binôme disjoint B— C
Soit Cube sera B (B q + C;) — C (B| + Cq)
Tellement que le majeur nom de la puissance est commensurable au majeur nom de la racine, & aussi le mineur au mineur (si la racine n'est enveloppée d'autre marque plus esloignée que |/.)
Notes que le quarré de la diagonale d'un cube, est triple au quarré du coaté d'iceluT.
Construction Algebtoïque sur les Questions.
ON y procède le plus souvent comme aux fausses positions; lors qu'il faut adjouster ou soubstraire, on mesle les homogènes, assavoir les (1) avec les (1) :les (2) avec les (2), ko. mais les hétérogènes (comme les (0) avec les (1) ou autres, ou bien les (1) avec les (2), ou autres plus hautes) par ^k — . Quant à la multiplication on n'observe pas les homogènes , on adjouste les caractères comme en la Disme, de mesme pour la Division, horsmis qu'on soubstrait le caractère du diviseur de celuy du dividende, le reste, pour celuy du quotient. Multipliez 4(1)4-2 par 8 (2) — 4 (1) 4- 2 viendra 32(8) -|-4, au produit: Divisez le produit par l'un des efficients il viendra l'autre : on doit bien entendre les fractions de l'Arithmétique commune. Quant aux extractions on fait de mesrae qu'aux entiers, sinon que Pou n'extrait les racines que des puissances parfaictemènt quarrées ou Cubes, &c. autrement on se contente de l'apposition au devant. On posera donc (pour suivre les fausses positions) 1(1) pour le commencement, ou 1 (2) : mais on doit avoir esgard qu'en se rei-
glant
glant selon les conditions^ qu'en procédant on n^admette des qnantitez ou des nombres rompus : ce qui sert à la facilité: On tasche aussi d'éviter de parvenir à la fin^ a des équations complettes (voyez la troisiesme définition cy après.) Pour donc résoudre une question^ il la faut remettre en question de nombres abstracts^ sans parler (si on peut) de matière, comme d'escus, piedsy &c. Finalement il y a la position, les conditions (dont la dernière fait Pequation si la question n'est défaillante) la réduction, puis la solution de Tequation ordonnée: voyez les questions de Diophante, réduites en six livres, dans l'Arithmétique de Stevin, qu'avons fait depuis peu réimprimer, en Pan 1625, avec quelques augmentations, corrections & explications.
De la réduction Algebraîque.
I£ parleray de la réduction fort briefvement, comme chose. assez amplement descrite par Stevin, en dix reigles, après le soixante cinquiesm c problème de son Arithmétique, page 250" de la nouvelle édition* Et pour dire la vérité j'eusse bien deu rameliorer plusieurs choses là mesme, ce que j*aurois fait, n'eust esté que mes occupations ordinaires ne m'en donnoyent le loisir, comme entre autre choses , en sa quatriesme reigle des réductions, il falloit dire que la supérieure quantité doit estre seule , avec le signe -f- , devant les autres, avec le nombre 1, principalement si cela se peut faire commodément sans les fractions, & que les autres soyent mises par ordre selon leurs quantités.
Mais puis que cest ordre là n'est pas seul, & qu'il y en a d'autres, cornme l'inférieure quantité, (ou bien le nombre absolu seul au conséquent^ pour séparer le cogneu d'avec l'incogneu) & aussi l'ordre alternatif, comme on verra en la définition dixiesme suivante, qui est nouveau , propre pour quelque chose de particulier: il faut sçavoir que les réductions reçoivSt encor d'autres reigles qu'il n'en escrit, comme il le dit aussi à la fin. Pour n'estre pas long je mettray icy quelques briefves reigles en gênerai.
l'Addition \
} le desordre, redondance & défaut.
les fractions, des nombres, ou quantités en gênerai, les grands nombres, aussi des quantitez.
l'Asymétrie, & trop grande dépression. ' les Exaltations excessives des quantitez.
l'intempérance des nombres seulement.
Item
Et la soubstraction La multiplication La division La puissance l'Extraction risomere
Item es postposëeft quantités, on fait la rednotion (s'il j a eqaation) pour éviter la pluralité des postpositions, ft aussi l*on met seule celle-là qu'on veut quitter; k finalement les Equations servent a se défaire de toutes les positions, tant préposition que postpositions.
l'eusse donne des exemples des reigles susmentionnées, mais estant assez communes, je ne parleray que de l'Isomère comme s'ensuit.
De risomere.
L'Isomère est contre l'intempérance des nombres seulement, k non pas des quantités; les valeurs varient, on opère non pas seulement par multiplication pour se despestrer des fractions, mais aussi par division pour s'affranchir des grands nombres : or tout se fait avec des nombres continuellement proportionnauz.
Premièrement contre les fractions.
Soit 1 (3) esgale à 1 ^( 1 ) ^5: Il faut mettre toutes les qusntitez obmises comme ïcj les (2)
assavoir 1(3) esgaleàO(2)-f*l|(l)-f-5, poses les proportionnaux dessous ainsi. 1. 2. 4. 8.
produits 1(3) esgale à 6(l)-f-40 la valeur
de 1(1) estant trouvée 4, il faudra le multiplier par \ (qui sont premier k deuxiesme termes des nombres proportionnaux ejr dessus) viendra 2 pour la valeur de 1(1) de l'équation proposée premièrement.
Secondement contre les grands nombres.
Soit 9(2) esgale à 72(1)-|-1456. Divises par nombres proport. 9 .-< 12 . 16
quotients 1(2) esgale à 6(1)+91 là où 1(1) vaut 13 &«-7 lesquelles solutions divises (car on a divisé par les nombres proportio.) par j\ qui est la raison cy dessus , ou \ viendra 1 7 1 encor — 9| , pour les solutions requises.
Tierce*
Tiercement contre PAasymeirie.
Soit 1 (3) esgaleà 14 (1)— i/288; il y a début des (2) qu'il faut premièrement remettre
ainsi diviseurs prop.
1(8) esgaleà 0(2) + 14(1) — v/ 288 1. 1/2. 2. 1/ 8.
quotienU | 1(3) esgaleà 7{\) — 6
dont la valeur de 1 (1) vaut J 2
lesquels divisez par la raison cy dessus de — -
viendra pour les valeurs requises de Tequation proposée.
Des Equations ordonnées.
LEs conditions^ d'une proposition! achevées, on vient à une équation^ que sMI n'y a pas assez de conditions pour amener le tout à l'equation« & que les nombres Âlgebraiques ayent en eux les proprietez & conditions requises, alors la question sera défaillante, à recevra autant ' de solutions qu'on voudra, si Ton admet les moins; que si l'on n'admet les nullitez, & les moins, elle sera tant plus restrainte, & faut limiter & déterminer les solutions , & ce par le moyen des moins , qui se trouvent illec, autrement s'il ny a deS|moins, il ny aura pas de restriction ou de* terminaison.
Que si on peut résoudre la proposition sans se servir de toutes les conditions y elle sera excedente , & faut retrencher la dernière condition , si elle répugne : Que si finalement la proposition peut faire parvenir à une équation, la proposition sera pleine & entière ; mais si l'equation est desordonnée, prolixe, & vitiée, il la faut préparer par la réduction, b l'ayant polie, l'appeller équation ordonnée, de laquelle nous avons à parler : & est preste à recevoir la dernière main.
L'équation ordonnée n'est rien, si on ne la resond, & est le nœud principal de la question, à pour n'estendre ce discours hors des limites, parlons de la première, pour la délaisser doresnavant.
D Quand
Qwmd ks (2) tont eigaki à (1) (0) Par exemple soit 5 (2) esgale à 18 (1) -|- 72.
la moitié du nombre des (1) est
son quarré auquel adjoustë le produit de 5 fois -j- 72 qui est
la somme
sa |/ est
lequel adjousté , & osté du premier en l'ordre
viendra
Chacun desquels divisé par le 5 viendra 6 aussi — ^^
valeurs de 1 (1)
Et ainsi faut-il faire des autres deux accidens de ceste première équation : Notez aussi y que la racine de 441 est-{- 81 aussi — 21 ; mais au lieu de ceste difficulté, là on fera une addition & soubstraction^ ou se trouvent 30, ou — 12, autrement on n*eùst eu besoin que d'adjouster.
Notez aussi qu'où les (0) sont moins, il 7 a plus de solutions par -lqu'autrement, & ce en toutes les équations : Or les solutions par — ne se doivent obmettre.
Finalement quand quelques (2) sont esgales à (1) — (0), il se peut faire que l'équation seroit impossible, comme si 1 (2) estoit esgale à 6(1) -«25, alors la valeur de 1(1) seroit inezpliquable , assavoir 3 + v/ — 16 ou 3 — \/ — 16, ce qui peut arriver seulement aux équations là où le (0) est — , & qui sont ambiguës, c'est à dire qui re*çoiventplus d'une solution par-j-: & ainsi s'entendra des autres équations.
Quant à l'ambiguité des équations, on choisit la solution le plus commode, si on ne les veut accepter toutes.
On doit aussi recercher toutes les solutions, pource qu'elles donnent ^us d'intelligence de ce qu'on cerche, car par exemple; si 1 (2) est esgale à 16 (1) — 28; on en peut faire une question, disant: il y a deux nombres dont la somme est 16, & leur produit 28: (la manière & la raison que cest une telle question, se verra cy après) ceux-là seront 2 & 14, & chacun est la valeur de !(!),& n'en y a pas d'avantage.
Quand 1 (3) e$i e$gale à (1) & (0)
Icy se trouvent les autheurs fort empeschez , & pour dire la vérité en chose fort difficile , & pour ne faire trop de discours entrons en la manière ordinaire restituée. Soit
Soitl(8}e8galeà6(l)4-^
le I du 6 est S son cube 8
I est 20 son O est 400 estez 8
sa )/ est |/ 392
la racine cubicque de chacun est |« ^
la somme est 4 pour la valeur de 1 (1)
Voila donc la valeur de 1 (1) en perfection^ or tout ainsi comme il y a des binômes comme les 4% 5" & 6% desquels on ne peut extraire la racine quarrée qu'en posant devant la marque {/ bino. comme il a esté dit cy dessus, aussi y a-il des binômes desquels on ne peut autrement extraire la racine cubicque qu'en apposant une marque & enseigne au devant,
comme Ct bino. sans qu'il y ait de l'imperfection en cela, non plus qu'à la racine de 5, donnant pour solution |/5.
Or la racine cubicque d'un binôme estant extraicte, comme nous en avons donné une reigle cy dessus , il s^ensuit de là, qu'on pourra tousjours résoudre ceste équation, horsmis là où on ne pourra oster le Cube du tiers du nombre des (1), du quarré de la moitié des (0) , & quand cela arrivera, on fera comme s'ensuit.
Beigle pour résoudre l'équation de 1 (8) esgale à (1) + (0) lors que le cube du tiers du nombre de (1) est majeur au quarré de la moitié
des (0) par l'aide des tables de Sinus.
Soit 1(3) esgale à 13(1) + 12
Le tiers du nombre des (1) est 4^ sa |/ est en disme V:^ 20816 (4) leur produit est 9,0203 (4), diviseur
la moitié du (0) est 6
le raid 100000 leur produit 600000, dividende
D 2 Or
Or ayant ainsi un dividende & dÎTiteur, on aura un quotient 66515
Sinus de 41 deg. 41. 87.
adjoustez y par reîgle 180
somme 221. 41« 87 son tiers 78. 53. 52 son sinus 96078 son double 192156 multiplié par \^r 20816 (4) viendra
lequel divisé par le raid V
viendra 4 la valeur de 1 (1) principale
Car il 7 a encor deux valeurs qui sont chacune faite par — ; parquoy appliquant (l) à la valeur trouvée 4^ & ledit divisant P (0) donné 12: viendra 8, donnant le signe — à chacun^ puis par reigle
1 (2) esgaleà — 4(1) — 3 les valeurs seront ^ 1 & — 3
Donc les 3 valeurs requises seront
j> menne a» Géométrie éefacik expedUùm.
Cy dessus 1 (8) estoit esgale à 1 3 ( l ) + 1 S Le I du 18 est 4^^ entre iceluy & l'unité soit trouvé une moyenne proportionnelle FHf icelle comme raid soit fait nn demicercley Or ledit 4} divisant le 12 donnéj viendra 2|^ , qui sera tousjours moindre au diamètre de nécessité, en l'accident présent selon le tiltre de ceste équation: soit dont F O adaptée esgale à 2-f^, puis soit trouvé géométriquement par le moyen de rhyperbole le tiers de l'arc OE^ ou bien mechaniquement avec le compas, (car il est impossible de conpper tout are proposé en 3, sans user d^autres Ugnes que la droite b circulaire) & soit LK, puis de l'in« tervalle de k droite LK, comme raid, soit fait Pare MN homoœii-
trique.
trique^ couppant Ift ligne FL en M, N^ alors les trois valeurs de la 1 (1) •
PL
tetont l — FN
