INTRODUCTION

Enumeration des diverses méthodes. — Dans ces dernières années, les travaux mathématiques de Hoené Wronski ont été cités plusieurs fois sans que personne se soit arrêté aux méthodes générales proposées par

(') Wronski (Hoené), né à Posen en 1778, est mort à Neuilly le 9 août i853. A Tâge de seize ans, il était officier d^artillerie sous les ordres de Kosciusko. Fait prisonnier par les Russes à la bataille de Maciéiowicz, le 10 octobre 1794? il accepta dans leur armée le grade de lieutenant-colonel, dont il se démit en 1797, pour s'adonner exclusivement à Pétudede la Philosophie et des Sciences mathématiques, d'abord pendant deux années en Allemagne, puis en France jusqu'à la fin de ses jours. (Note de la Rédaction.)

b E. WEST.

ce géomètre. Elles nous ont cependant paru éminemment pratiques et très simples dans leurs principes chaque fois que nous avons eu occasion de les examiner ou d'en faire des applications.

Les Ouvrages de Wronski sont très rares et la lecture en est difficile au premier abord ; aussi nous espérons que Ton nous saura gré de présenter les méthodes dont nous parlons avec les notations ordinairement usitées et accompagnées d'exemples suffisants pour les rendre facilement intelligibles. Nous nous adressons surtout aux personnes qui font un fréquent usage des Mathématiques et que leurs travaux conduisent à des calculs élevés.

Il nous semble utile de signaler d'abord les différentes mélhodes de Wronski (•).

Nous désignons par le mot méthode l'application systématique d'une loi fondamentale déterminée.

En premier lieu, nous citerons pour mémoire une méthode générale concernant la théorie des nombres. Le principe fondamental a été démontré par M. Hanegraeff, Note sur V équation de congruence

œ'^^r (mod./?)(^),

et par A. Bukaty, Déduction et démonstration de trois lois primordiales de la congruence des nombres ( ' ).

Cette méthode a été développée au commencement du Tome I de la Réforme du savoir humain ( 1 847 ).

Les autres méthodes ont exclusivement rapport à l'expression des fonctions proprement dites. Ce sont : la méthode secondait e^mèÙioAG pratique et universelle (c'est-à-dire technique, pour employer le langage de Wronski) ; elle permet de résoudre toute espèce d'équations et d'intégrer les équations aux différences ou aux différentielles totales ou partielles. Le nom de méthode secondaire indique que cette méthode doit prêter son concours à une seconde, dite méthode suprême. (^Ue-ci est fondamentale ; elle est à la fois théorique et technique,

(*) Aucune de ces méthodes n^'a rapport à la Géométrie. {«) Gatithicr-YiUars, i860.

(») Amiot, 1873.

MÉTHODES GÉNÉRALES EN MATHÉMATIQUES. n

D après Wronski, on peut en déduire toutes les lois des Mathématiques.

Ces deux méthodes se subdivisent en méthodes élémentaires et méthodes systématiques y suivant que l'on ne distingue spécialement aucune» (les diverses parties qui composent les équations ou que Ton distingue systématiquement ces parties.

Il existe encore deux méthodes générales : Tune est basée sur Vinterpolation ; elle a pour but de résoudre ou d'intégrer une équation d'un genre quelconque quand les dérivées ou les différences successives des fonctions proposées sont trop pénibles à calculer. On remplace ces éléments des fonctions par un nombre suffisant de valeurs des fonctions proposées correspondant à des valeurs déterminées des variables indépendantes.

L'autre, la méthode d' exhaustion, est, comme son nom l'indique, une méthode générale d'approximation. Son caractère consiste en ce que les accroissements successifs des différents termes qui déterminent la fonction problématique ne sont liés par aucune loi, et qu'ils doivent être calculés directement et non par des tâtonnements. Cette méthode peut s'appliquer encore à tous les problèmes, et Ton n*a besoin que de connaître les différentielles de la fonction proposée ; c'est surtout dans l'évaluation des intégrales qu'elle peut être employée avec succès.

Avant d'entreprendre Texamen des différentes méthodes, ou tout au moins des premières, nous devrions commencer par démontrer les deux lois fondamentales desquelles dérivent la méthode suprême et la méthode secondaire ; mais, pour ne pas entrer dans des considérations préliminaires qui nous entraîneraient trop loin, nous commencerons par la méthode secondaire élémentaire. Nous aurons ainsi l'avantage de donner une première idée de la méthode secondaire et de faciliter ensuite l'exposition de la méthode systématique.

Nous devons prévenir que cette méthode élémentaire, quoique permettant de résoudre ou d'intégrer tout genre d'équations, entraîne généralement à des complications que ne donne pas la méthode systématique; parfois même elle peut devenir insuffisante, comme nous aurons occasion de le voir. Cependant la méthode élémentaire doit élre préférée dans certains cas, ce qui arrive particulièrement quand il faut déterminer principalement les valeurs numériques de certaines quantités.

Fonctions employées et notations, — Wronski a fait, dès le commencement du siècle, un usage tfès étendu des déterminants, qu'il désignait sous le nom de sommes combinatoires ou de /onctions schin (voir la J?efutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange ^ 1812; Philosophie de la Technie, i8i5, etc.).

Nous emploierons indifféremment les notations usitées

ou

IjSl seconde notation est celle dont Wronski faisait usage, avec cette différence que la caractéristique CD du déterminant était remplacée par la lettre hébraïque schin, caractéristique de la somme combinatoire. Ces fonctions ne sont d'ailleurs que des expressions tabulaires de termes distincts et achevés, car elles n'indiquent pas certaines opérations particulières ; elles ne sont pas l'expression de quelques fonctions indépendantes, telles que les logarithmes ou les sinus.

Indépendamment de ces sommes combinatoires, Wronski considérait d'autres sommes de même espèce, qu'il désignait sous le nom d'agrégats ; nous en ferons également usage. On trouvera dans la Philosophie de la Technie, vers la formule (45i), la relation qui existe entre les agrégats et les fonctions scliin.

Les agrégats sont formés de termes de même signe qui dérivent le» uns des autres d'après une loi déterminée, et cette loi porte ordinairement sur certains indices des éléments de ces sommes. On dénote ces fonctions par le terme général placé entre accolades et précédé de la caractéristique Agr, et par la loi des indicée. Ainsi la fonction symétrique

(/5) a^-hal-^al^a^al-

a^al-ha^ai-i-ala^-hala^-^ala^-i-a^a^^a^

lO E. WEST.

Nto représente un nombre quelconque &> d'éléments dont rip et n^ font partie, et [N<o— /»;,] représente tous ces éléments, sauf w^; de même [Nco — Jiq] les représente tous, sauf n^ (voir Introduction à la Philosophie des Mathématiques y 1 8 1 1 ) .

De l'expression précédente on déduit celle-ci :

( N(m) = 2,(fx)N(m-i)-2,(fx)N(m;-2) + :..

m est le degré de la fonction considérée, et ]x le nombre des éléments qui entrent dans toutes ces fonctions aleph ; 2p(|x) représente de plus la somme de tous les produits différents des |x éléments/? k p. Le nombre m doit être ici plus grand que /x, ou tout au moins égal ; autrement la fonction aleph qui aurait un exposant négatif devrait être considérée comme nulle, ainsi que nous allons le voir. Si les éléments sont les racines de l'équation

[ri) k^x^ + k^^^cd^-^ 4- Aj.^a^l^'"* -h . . . -}-A,a? + Ao = o, l'expression précédente s'écrit

(ô)A^N(m)-i-A^,N(m-. i) + Aji 2N(/w - 2)-!- . . . 4-AoS(m-|UL)=:o.

Supposons Ajjt = o, nous aurons pour les premières valeurs des fonctions aleph

- S(3) = k^, N(2) -f- Aj,2N( I ) + Ap,^3,

Nous démontrerons le théorème suivant :

^^ ^^"^ (S^[n\n\n\,,,niz\nl-')

On voit immédiatement que, pour m = o, la fonction se réduit à

Or S'(/w) est une fonction aleph négative de n(/w), ce qui donne la relation

pour la première valeur, on a

Il est encore une autre espèce de fonctions dont nous devons parler; elles sont connues sous le nom de facultés. Ces fonctions s'introduisent nécessairement dans les calculs, car elles interviennent quand on considère les différences des quantités variables, de la même manière qtie les puissances ou les exponentielles quand on considère les différentielles.

Soit 9(0?) une fonction de la variable a?; la faculté 9 (a?)'"'^ n'est autre que le produit

m est l'exposant de la faculté et | l'accroissement de la variable ; ces quantités m et Ç peuvent être constantes ou variables.

Les produits d'un nombre infini de facteurs ne doivent pas être confondus avec les facultés; ces dernières fonctions sont plus générales.

Vandermonde a le premier reconnu ces fonctions dans son Mémoire sur les irrationnelles de différents ordres [Histoire de l'Académie royale des Sciences, 1772, F* Partie, p. 489)- Plus tard, Kramp, dans son Analyse des réfrojctions astronomiques, a fait une étude complète des facultés particulières nommées factorielles , Enfin Wronski a complété l'étude des facultés et a montré qu'elles pouvaient servira représenter toute espèce de fonctions.

Les facultés, malgré leur importance, paraissent tombées dans l'oubli, quoique plusieurs géomètres aient reconnu leur utilité. Nous citerons à ce sujet un passage d'une Lettre d'Abel à Holmboe, qui fait connaître l'opinion de ces mathématiciens :

« .... Théorie der analytischen Facultâten (cet Ouvrage se trouve à la bibliothèque de Christiania; si tu ne Tas pas lu, il faut absolument que lu le

rieurs, dont nous verrons Tulilité dans la méthode secondaire. Pour les principales propriétés des sinus et leur introduction dans les calculs, nous renvoyons aux deux Mémoires de M. Y von Villarceau insérés dans les Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences (t. LXXXVI, séances des i3, 20 et 37 mai 1878, et t. XC, séances des 29 mars et 5 avril 1880).

Nous devons dire encore que nous noterons les dérivées partielles, comme on le fait souvent, en mettant entre parenthèses la dérivée que Ton considère. Par exemple, s\ (f[y) représente une fonction de y et d'autres quantités, toutes fonctions de x ainsi que dey, nous écrirons la dérivée de la fonction proposée par rapport à y

(p) -JT'

Mais^ si Ton prenait la dérivée de y (y) par rapport à a?, sur la variable y seulement, nous écririons

Autant que possible, nous citerons les passages des Ouvrages de Wronski se rapportant aux sujets que nous traiterons ; autrement, nous donnerons les indications nécessaires pour que Ton puisse recourir à ces Ouvrages.