MÉTHODE SECONDAIRE ÉLÉMENTAIRE

Conditions générales de la méthode.

Expression fondamentale. — En nous plaçant à un point de vue particulier, nous dirons que le principe de cette méthode consiste dans l'usage général d'une formule dont celle de Taylor n'est qu'un cas particulier.

Euler en a donné une qui remplit cette condition pour la méthode élémentaire.

cipe de toutes les autres et qu'elle fait connaître en même temps la significfation de la quantité (v.

Soit F (j)^) une fonction donnée de la quantité y; considérons son développement par rapport aux puissances d'une autre fonction (p{y) également donnée; nous aurons la série

(4) F(y) = A.+ A,[?(j)J + A,[9(jj]='-f-A,[y(y)]' + ....

Les coefficients A©, A<, Aj, . . . sont supposés indépendants dey et sont donnés par l'expression suivante, déterminée par une valeur particulière ç^y mais quelconque, de y :

(4)' A,= s,-îi-fiv.y(«.) + ('^-^\>(;--^)s^.[,H]'-...,

en faisant, pour un indice quelconque v,

Nous aurons occasion de démontrer ces formules plus loin; c'est pourquoi nous ne nous y arrêtons pas.

Ainsi, quelle que soit la valeur de w^ le développement (4) subsiste toujours; par suite, les coefficients Ao, A<, Aj, . . . doivent rester les mêmes. Si donc «t^ prend une valeur particulière u telle que Ton ait

(5) ?(w) = o, on aura aussi

en désignant par un accent la valeur particulière que prend S^ pour

Faisons jjl =: o,

(5)' Ao = S'„=F(«);

d'après (5) et d'après (4') on aura également

(6) Ao = So-S.yH + E,[y(«.)]«-S.[9(«.)]' + ....