APPLICATIONS MÉCANIQUES DU CALCUL DES QUATERNIONS

On a en effet, N, N,, ... étant les points d'application des forces après la rotation qui a donné Wj

Si Ton fait subir au corps la rotation i7'( )i,, on aura une nouvelle fonction Wt x, déterminée par l'équation

W,x = 11-' NU SSfx = i;' ^xi,.

Or 17*^x1, est une fonction conjuguée à elle-même qui a les mêmes directions principales que ^x* Si l'on a, par exemple,

on aura

^x = A,i, 5> i| X -h Ajij ^ijX -h A,i, ^i,x,

l,*yXI,=: A,I| SSl^X — A2i2SSî2X ~ A, i,5>isX.

Donc, enfin, il y a quatre positions d'équilibre. L'une d'elles étant donnée, on obtient les trois autres par des rotations de i8o** ou des renversements y autour des axes principaux, de la fonction Y ou 0*' dans la position donnée.

Il reste maintenant^ pour compléter la solution du problème, à déterminer le quaternion unitaire Q.

On a, d'après l'équation (i i),

quel que soit x, ou bien

[SSQ H- tlO)^x = O'x(^0 -f. KJO),

et l'on a, en prenant la partie algébrique de cette équation,

(i6) S?»(?^x = ^*'xUO,

ou bien

5?xW(? = ^x*1iO,

OU enfin

Cette équation, devant être satisfaite quel que soit x, exige qu'on ait

La fonction linéaire vectorielle (Y — *)x est donc binaire et de la forme

bS'AX H- B, S'A,x; et Ton a

L'équation (i6) permet aussi d'écrire

tUO = Il (Y - (P')a{^' - *')B,

A et B étant deux vecteurs quelconques.

Les résultats qui précèdent peuvent être énoncés de la manière suivante :

Étant donné un système de forces appliquées à un corps solide, il existe quatre positions du corps pour lesquelles le système des forces se réduit à une résultante passant en un point donné.

Comme cas particulier, si les forces ont une résultante générale nulle, la fonction $x est la même, ainsi que nous l'avons remarqué ci-dessus, quel que soit le point pris pour origine. Il en est de même, par suite, des fonctions 00' et Y^, et Ton voit que la position du corps qui correspond à l'équilibre est la même, quelle que soit l'origine des vecteurs. Donc, si les forces données ont une résultante générale nulle, il y a quatre orientations du corps pour lesquelles elles se font équilibre.

On devra avoir en même temps (1-7) S?BC = o, 5>CA=o, SSab=zo

et

ou bien (r8) ^bO'$c==o, Sfc$'OA=:o, 5?a0'$b = o.

Les équations (17) et (18) montrent que le système que nous cherchons est unique et déterminé, et que les vecteurs unitaires a, b, c sont les vecteurs unitaires principaux de la fonction $'*x, c'est-à-dire qu'ils sont dirigés suivant les axes de Tellipsoïde

que M. Darboux appelle V ellipsoïde central du système pour rorigine

choisie.

Comme on peut toujours, par une rotation convenable, faire coïncider deux trièdrcs trirectangles ayant le même sommet, on voit qu'on pourra, par une rotation convenable du corps, amener les bras a, b, c des couples principaux à coïncider avec les directions correspondantes Oa, $b, ^c, et par suite les couples à se détruire. Cette position du corps obtenue, on en obtiendra trois autres semblables par des renversements autour des trois bras; nous retrouvons ainsi Tun des résultats qui précèdent.

L'eUipsoïde central dont il vient d'être question peut être construit en portant sur chaque vecteur unitaire l une longueur égale à l'inverse de l'intensité de la force correspondante Ol. On a, en effet, pour le point obtenu ainsi,

ou bien

6o GENTr.

ils sont polaires réciproques par rapport à la sphère dont le rayon est égal à Tunité.

Dans ce cas, mais dans ce cas seulement, les directions des forces sont les normales à un troisième ellipsoïde ayant pour équation

Dans le système de réduction des forces que nous venons d'étudier, on décompose le couple résultant en trois autres dont les bras sont perpendiculaires et les axes situés dans un même plan. Nous allons examiner maintenant un nouveau mode de réduction dans lequel les bras des couples spnt situés dans un même plan et les forces correspondantes rectangulaires.

Projetons d'abord chacune des forces sur une parallèle à un vecteur unitaire quelconque l mené par son point d'application. Les forces projetées seront

et leur résultante, qui est égale à leur somme, sera

lS?2fl = hSSnL.

Je dis que le centre de ces forces parallèles est situé dans un plan fixe du corps.

On a en effet, en appelant x le vecteur de ce point,

{igbis) X S?RL = 2m<S^fl = $'l,

d'où

et, en opérant avec 5>bx,

GENÏY.

Le couple composant, qui a pour axe t!li,$'i|, peut être regardé comme constitué par une force i, appliquée au point $'i|, ou, ce qui est la même chose (si SSi^ r est différent de zéro), par une force i, ^ri«

appliquée au bras - -> et de même pour les deux autres couples. Nous

retrouvons ainsi la même réduction que ci-dessus.

Si Ton a 5> Ri| = o, c'est-à-dire si Ton prend les composantes des forces sur un vecteur unitaire normal à la résultante générale, elles n'auront plus de résultante unique et se réduiront à un couple tl i, 4>'i, , dont le bras <!>'i| est parallèle au plan central. On a, en effet,

^a)-*R$'i, = ^R<r-'a)'i. -- <^Ri, ^ o.

Nous allons enfin étudier la réduction du système des forces à quatre forces appliquées aux sommets d'un tétraèdre quelconque.

Soient A, B, C, D les sommets du tétraèdre donné. Une force f, appliquée au point M, peut être remplacée par une force égale et parallèle appliquée au point D et par le couple tlF(M — d). Le système de toutes les forces pourra donc être remplacé par une force r appliquée au point D et par le couple résultant 2tl f(m — d).

Or on a

et Ton voit que le couple résultant pourra être remplacé par trois autres, dont l'un,

SbF(A — d)S(M — d)(B — D)(C — d) ' S(A — D){B — D)(C — d) '

pourra être regardé comme ayant pour bras a — d et pour force