APPLICATIONS MÉCANIQUES DU CALCUL DES QUATERNIONS

Nous aurons ainsi réduit le système à sept forces, dont quatre appliquées au point D et les trois autres aux "autres sommets du tétraèdre. En remplaçant enfin les quatre forces qui agissent au point D par leur résultante, on aura réduit le système à quatre forces appliquées aux sommets du tétraèdre donné.

Soient a Taire de la face du tétraèdre de référence opposée au point A, A, le vecteur unitaire normal à cette face et V le volume du tétraèdre donné; on aura

tl(B — d)(c — d) = 2aA,, ^(a-d)(b-d)(c-d) = 6V,

et, par suite, l'expression de la force qui agit au point A peut se mettre

sous la forme

2a*Ai — rSbcd

Vn =

et l'on reconnaît immédiatement que la direction de la force en un sommet quelconque du tétraèdre ne varie pas avec ce sommet quand la face opposée reste fixe.

Ellipsoïde central du point central. — Ellipsoïde central pour les divers points du corps, — Conique centrale.

Nous allons maintenant revenir à l'étude de l'ellipsoïde central, qui a servi à M. Darboux dans la plus grande partie de ses recherches.

Nous avons vu précédemment que, si l'on prend le point central pour origine, la fonction $x s'annule pour x = r; cette fonction peut donc se réduire à une fonction à deux termes, qui, en général, n'est pas conjuguée à elle-même. Mais, comme dans le cas d'une origine quelconque, étudié précédemment, on peut la rendre telle en faisant tourner le corps d'un angle déterminé autour d'un axe convenablement choisi. Dans le cas particulier qui nous occupe, l'équation (ii) devient

(22) Ox ==(?-* $'xO,

64 GÉNTY.

et elle montre, ce qui était évident, que la fonction $x s'annule^ comme la fonction $', pour'x = r. On voit d'ailleurs sans difficulté que réquation

n'a que deux solutions, dont l'une se déduit de l'autre par une rotation de 1 80** autour de r.

Si Ton pose, en eflfet,

(23) <&*x = <&'<&x =aJi,^i,xH-a^i2^ijX, les valeurs de qui conviennent à la question seront

*2X = K""*<&,xK = — a,i4 <S>i|X — a2i2<S>ioX, en posant

ou bien

$,x = a,i|^i,x — as 10^12^ 9

$2^ = K~*OxK = — a, I, <S>i,x H- a2i2SSi2^'

I/ellipsoïde central du point central se réduit, en conséquence, à un cylindre parallèle à r et dont l'équation est

^x$$'x — I ou bien SSx<S>^x = i, ou enfin

(24) a;{SSuxy-h ali^i.xy--^ 1.

Le vecteur x du centre des composantes des forces parallèles à un vecteur unitaire l a pour expression

et l'on voit que le lieu de ce point, c'est-à-dire le plan central, a pour

66 GEKTY.

Pour éliminer l, opérons par SSpx, et nous aurons, en supprimant le facteur SSpl^

équation du troisième degré en /.

Le terme tout connu de cette équation est égal à ^^a^b vc, a, b, c étant trois vecteurs unitaires rectangulaires quelconques. Si Ton suppose que A, B, c soient les vecteurs unitaires principaux i,, i,, i, du cylindre central du point central, on aura

et Ton trouve sans difficulté

Cette équation montre que le produit des axes de l'ellipsoïde central d'un point quelconque est égal au produit des axes de la section droite du cylindre central, divisé par le produit de Tintensité de la résultante et par la distance du point donné au plan central.

Ainsi, le produit des axes est le même pour tous les points qui sont situés à la même distance du point central. Ce produit est infini pour un point du plan central, de sorte que pour tout point central Tellipsoïde central est un cylindre : c'est ce qu'on aurait pu voir de suite en remarquant que pour un point du plan central on a (aS)

4>R = 4>R — R ^PR = o.

Soit / l'une des racines de l'équation (28), et considérons la qua- (Irique qui a pour équation

(î9) (€R)^Srx(<l)^-/)-*x=--i.

68 GFNTT.

Théorème de Minding.

Nous allons enfin démontrer le théorème de Minding, qu'on peut énoncer de la manière suivante :

Dans toutes les positions du corps où les forces se réduisent à une résultante unique^ les lignes d'action de ces résultantes vont toujours rencontrer les deux courbes définies ci-dessus sous le nom de focales de Minding.

Prenons le corps dans Tune de ses situations d'équilibre par rapport au point central. Le système des forces se réduit alors à la résultante générale r = ^ri,, à un couple dont la force a,i, est appliquée à l'extrémité du vecteur unitaire i, et à un couple dont la force a2i2 est appliquée à l'extrémité de I2.

Nous allons chercher quelle est la rotation à faire subir au corps pour que le système se réduise à une résultante unique, appliquée en un point quelconque p. Soit Q"'*( )Q l'opérateur qui représente cette rotation : en faisant d'abord tourner le corps, le système se réduira à la résultante générale r, à un couple de forces a, i, appliqué au point Q'^iiQ ou l'j, et à un couple dont la force a^ij est appliquée au point 0"* laO ou i\, La somme des moments des forces pour l'origine sera donc

aitdl^l'j-l-aatJlala,

et, pour un autre point quelconque p, elle sera

a|tJl|l', -h (/aldlala — IJrp.

Pour que, dans la nouvelle position du corps, le système se réduise à une résultante unique appliquée au point p, il faudra qu'on ait

(3a) û|tJi<i'i -f-aatJiaij — tJliP = o,

APPLICATIONS MÉCANIQUES Dl) CALCUL DES QUATERNIONS. 69

OU, en opérant successivement par ^i\, SSi^, SSi^,

l a2^i3i2-i-€R<S>i,pi', = 0,

(33) < fli^ij!, — Cr^îjPIj^o, ( a<^i4i3 — «i^iai'j -|-Cr^IsPi's= o.

Ces trois équations suffisent pour déterminer le quaternion unitaire Q. On peut en déduire très simplement Téquation

(34) ai^i',1,— «2^1,12= o,

<ju'on obtient d'ailleurs immédiatement en opérant sur Téquation (32 ). Si, dans les équations (33). nous remplaçons p par x, nous aurons

équations de trois plans dont l'intersection commune est évidemment Tune des résultantes uniques lorsqu'on y remplace Q par l'une des valeurs tirées des équations (33). Cherchons Tintersection de cetle droite avec le plan

(35) SSxî\ = o,

qui est, dans la nouvelle situation du corps, le plan de Tune des focales de Minding.

Les deux dernières équations ci-dessus peuvent se mettre sous la forme

ou, en développant et tenant compte de l'équation ( 35), ®R^i, i\ SSxi\ = a2SSi\ i2 — «I ^îi Ï21