P. PEPIN

On doit done rejeter toutes les valeurs de m renfermées dans les formules

iw = i^^4-(io, 12, i4, i5, i6).

21. Nous prendrons encore le module 23, qui nous donnera un grand nombre de formules d'exclusion. L'équation (i), réduite suivant ce module, donne la congruence

y(/w) = 4m'4-m^— 2m^ 3/*— 3 (mod. 23).

(^omme 3 est résidu quadratique de 23, 3y se réduit à l'un des nombres o, 1,2, 3, 4» 6, 8, 9, 12, i3, 16, 18 et 3j^ — 3 à l'un des nombres 20, 21, 22, o, i, 3, 5, 6, 9, 10, i3, i5. On doit donc rejeter les valeurs de m qui donnent à /{m) des valeurs équivalentes aux nombres 2, 4, 7, 8, ii, 12, i4, 16, 17, 18, 19 suivant le module 23. Or on trouve

/{± î)=. id= 2= 3, 22,

/(=h 2)=^ 4dz 5i^ 9, 22

/{± 3)— 9^110:1^19,22, /{± 4)= iGzp 5^11, 21, /(± 5)^ 2± 7^ 9,18,

/{± 7).^ 3ip 1^2, 4, /(di 8)=:~ 5± 8^ 3, 10, /{± 9)^ 12:1: = 12, 12, /(±io)— 8q= 1^9, 7, /(diii)= 6=fci2^~i8, 17.

On doit donc rejeter les valeurs de m comprises dans la formule

En réunissant ce résultat à ceux des numéros précédents, nous obtenons ce théorème :

Aucune valeur de m propre à vérifier l'équaiion ( i ) nest renfermée dans

SUR LES SURFACES OSCULA.TBIGES. I o'î

tune des formes linéaires

7a:-f-(2, 3), Ma:-h(2, 3, 7), i3a?-f-(2, 6, 9, 10, II, 12), i7ir-f-(ïo, 12, i4, i5, i6), 23j? -h (3, 4, 6, 7, 9, II, 12, i3, i4, 16, 17, 18).

22. Au moyen de ces formules et d'autres semblables que l'on obtiendrait de la même manière relativement à d'autres modules premiers, on peut exclure le plus grand nombre des termes renfermés dans les six formules du n*^ 16 et trouver ainsi rapidement toutes les solutions de l'équation (i) en nombres inférieurs à une limite assignée. Afin de ne pas trop allonger ce Mémoire, nous nous contenterons de chercher celles de ces solutions qui sont inférieures à 67,5 et qui correspondent à la valeur X = o dans les formules citées.

La formule I se réduit à 25^, le nombre k ayant les onze valeurs 4» 5, 8, 9, II, 12, i3, 17, 18, 22, 26. On doit rejeter les termes qui vérifient Tune des congruences 4^ ^^2, 3 (mod. 7), ^r^4» 6 (mod. 7). Sont exclues de ce chef les valeurs ^ = 4> 1 1> i3, ï8. Il faut y joindre celles qui satisfont à Tune des congruences

3A^2, 3^7 (mod. 11), A^8, 1,6 (mod. 11);

telles sont les valeurs ^ = 8, 12 et 17.

Après ces exclusions, il ne reste que trois valeurs de m, savoir

dont la première est exclue par le théorème du n^ 6, puisqu'elle est égale à une puissance d'un nombre premier sans se réduire à 5; les deux suivantes sont inadmissibles, parce qu'elles vérifient les congruences

25 X 9^i8, 25 X 26^^=6 (mod. 23) ;

enfin on reconnaît, par le calcul direct, que la dernière valeur, m = 55o, donne pour n une valeur irrationnelle.

io4 p. PEPirc.

Ainsi la formule 1 ne renferme, au-dessous de la limite GyS, aucune valeur de m propre à vérifier l'équation (i).

23. La formule TI, lorsqu'on y faitX = o, renferme douze termes, dont le premier, i, est une solution de notre problème. Les autres sont

25^ -f- 1, ^ =4» 5, 9, i3, i4, 18, 21, 22, 23, 25, iQ^,

Nous devons supprimer les termes qui vérifient Tune des congruences

4^^- 1^2, 3 (mod. 7), ^^ 2, 4 (mod. 7);

tels sont les termes 4» 9> ï8, 23 et 25. Ajoutons-y les termes ^ =r i3, k == 26, car on a

25 X i3 -H I E^7, 25 X 2G 4- 1^2 (mod. 11).

La considération du module i3 en exclut deux autres, 5 et 21, car on a

25x5 + 1^9, 25x21 -h 1^6 (mod. i3).

Il ne reste ainsi que les deux termes 25 x i4 + i > 25 x 22 -4- i . Or le premier divisé par 23 donne pour reste 6 ; on doit le rejeter. Quant au dernier, /n = 25 x 22 -f- 1 = 55i , si on le substitue dans Téquation

(i) m^-i-ôm^-f- iim=:3{n-hi){n-h 2),

il donne Téquation

dont les racines ne sont pas rationnelles. On en déduit, en effet,

2/1 = db y/i -h 24.55i.i7o5i — 3;

or le nombre soumis au signe y^se réduit à ï5 suivant le module 100; il ne peut être un carré, et, par conséquent, le nombre n est irrationnel.

I06 p. PEPIN.

tels sont k = o, 5, 12, 14. On doit rejeter encore les termes qui satisfont à Tune des congruences

3^— 1^2, 3, 7 (mod. u), ^E^ I, 5, 10 (mod. 1 1),

savoir i6 et 23. Les trois termes 4» i3, 17 sont exclus par la considération du module i3, car on a

'11 X 4 H- 10^ 25 X 17 H- 10^6, 25 X i3h- io^ezio (mod. i3).

Enfin le module 17 nous oblige à supprimer deux autres termes, ^' = 9, k^= 22, car on a

25 X 9-1- io^i4, 25 X 22-1- ro=^ 16 (mod. 17).

Il ne reste ainsi qu'un seul terme, m = 25 x 18 -h 10 = 4O0. En le substituant dans Téquation (i), on obtient

et Ton constate aisément que la valeur de n est irnitionnelle. Donc la formule IV ne renferme aucune solution inférieure à 675.

26. Il en est de même de la formule V, dont les termes inférieurs à ()75 sont

25A -+- i5, k—\,'i^ 3, 5, G, 7, II, 12, iG, 20, 2 1 , 25.

Supprimons d'abord ceux qui vérifient Tune des congruence's

2^ — 8 EI3 3, 4» 6, 7, 9, 1 1, 12, i3, i4, iG, 17, i8 (mod. 23), ^=^17, G, 7, 19, 20, 21, 10, 22, 11,12, I, i3,

savoir les sept termes ^ = 1 , G, 7, 11, 12, 20 et 21 . Ajoutons-y les trois