dl 2^-^/?>/)— l

On a done

D'ailleurs on déduit de l'équation (A), en ayant égard à Thypotlièse /> 9.2^^, que la valeur numérique de p doit être inférieure à 3 . 2^ V3 -h 2^ A . On devrait donc avoir

ce qui est impossible, même en supposant >. = i, puisque le nombre h n'est pas inférieur à 5.

Si donc l'équation (lo) est possible, on a

On ne peut pas supposer /= i, car, en éliminant /? entre les équations (a) et (6), on obtient la formule

d'où, en supposant /= i, et en faisant successivement X = i, 2 et 3, on déduit

L'impossibilité de ces équations se reconnaît aisément, sans effectuer le calcul des racines. D'abord, l'une des racines ne peut pas être entière sans que l'autre le soit également. Le dernier terme de chacune

94 P- PRPïl^

les deux équations

(2)A)^— i6..)G3A-i-0ji67 = o,

(49^)^- ÏG.827A -h 6)43 = o.

La première n'admet pas de racine rationnelle, parce que Ton en déduit en même temps

h < ' ' .. < i6> 3Â^7(mod.5), ^ = 10x4-9;

or le dernier terme 6367 = 3 . 1 1 . 199 n'admet pas de diviseur qui vérifie en même temps ces deux conditions. I>a deuxième équation est éf[alement impossible, parce qu'on en déduit la congruence impossible

A^— 2 A -f- 3 = (A — 1)^-4- 2^=0 (mod. .)).

En joignant ce résultat à celui du numéro précédent, nous sommes en droit de conclure que l'équation (10) est impossible en nombres entiers. Donc :

I. Parmi les valeurs de m qui satisfont à V équation (i), il nen est aucune qui soit multiple de 3 et dont le plus grand diviseur commun avec run des nombres n -f- 1 , n -f- 2 soit égal à 2, 4 ou 8.

C/est cependant ce qui aurait lieu si l'équation (1) admettait quelque solution de la forme 3. 2^ A*, A désignant un nombre premier impair, a un exposant entier et positif, X l'un des trois nombres i, 2 ou 3, car

le produit (n -f- i)(n -f- 2) étant divisible par -^ = -^-^"^^^^^^ q^'^i"-

cun des deux facteurs soit premier avec m {n^ 6), il est nécessaire que l'un de ces facteurs soit divisible par 2^ et Tautre par A*. Nous avons donc, relativement à la question géométrique proposée, le théorème suivant :

II. Aucune des sur/aces dont k degré est compris dans iune des formules 6 A*, 12 A*, 24 A*, où A désigne un nombre premier impair et a un exposant entier et positif, ne peut être rendue osculatrice en un point arbitraire d'une surface donnée.

SUR LES SURFACES OSCULATRICES. qS

14. En procédant d'une manière analogue, on trouvera des théorèmes semblables à ceux que nous venons d'établir, mais dans lesquels le facteur 2 sera remplacé par quelque facteur premier impair. Nous nous bornerons, sur ce sujet, aux résultats obtenus, afin de construire certaines formes linéaires où se trouvent renfermées toutes les solutions de Téquation (i), ce qui nous permettra de trouver aisément toutes les solutions en nombres inférieurs à une limite assignée.

L'équation (i), multipliée par 4» peut s'écrire

(i) f^m^+2\m' -h Vim -h 3 = 3(2n 4- 3)^ = 'iy^

Suivant le module 5, y^ ne peut avoir que Tune des valeurs o, i , — i ; le nombre m doit donc vérifier Tune des trois congruences

/{m) = m\-h m^-j- mE^3 — 3j-:e^3, o, i.

On doit donc exclure toutes les valeurs de m renfermées dans les formes linéaires

^yx-^- (2,3,4).

Soit m = 5ô -h i. L'équation (i), considérée suivant le module 2.5, donne la congruence

4(i';ô-f-ï)-(io5 4- 0-6(55 H-i)-h3^3j^ (mod. 25 , 2o5=^3j^ (mod. 25).

Cette congruence exige que y et conséquemment ô soient multiples de 5. Toutes les valeurs admissibles de m dans la formule 50 -h i sont donc de la forme 25/ H- i . Les valeurs comprises dans la formule 5ô se distribuent dans les cinq formes linéaires 2.5/4- (o, 5, 10, i5, 20 . Les valeurs de m qui satisfont à l'équation (i) sont donc toutes ren-

96 p. PEPIN.

fermées dans les six formules

15. En réduisant l'équation (i) suivant le module 27, on trouve que le nombre m doit vérifier la congruence

/{m) = ^m^—'3m^'- iom^3{y^— i) (mod 27) Or, on a

y = o, 1,4, 7 (mod. 9), 3(j^— = 24,0, 9, 18 (mod. 27).

I^s seules valeurs admissibles de m sont donc celles qui vérifient quelqu'une des congruences

/(m)^o, 9, 18, 24 (mod. 27).

/{± i)^- 3±(4-io)=i8.3,

/{± 2)e^— 12 dt 2(16 — 10)^0, 3,

/{dz 8)= 24±8(3)e^2I,0, /(=hio) = — 3±: lo(i2)=9, 12, /(diii) = — I2d=ii(i5) = i8, 12.

On voit par ce Tableau que l'on doit exclure les valeurs —1,-2, -h 4. — 4» — 5, 7, 8, — 10, — 1 1, — 13. De plus, parmi les valeurs de la forme 3/, on doit exclure celles qui ne vérifient pas la congruence

— 30/^3(7^—1)^0,9,18,24 (mod. 27), — /^o, 3, 6, 8 (mod. 9).

SUR LES SURFJkCES OSCULATRICES. 97

Les seules valeurs de / qui vérifient quelqu'une de ces conditions entre o et 9 sont o, i, 3, 6; on doit donc exclure les valeurs 2, 4» 5, 7 et 8 de /, et par conséquent les valeurs 6, 1 2, i5, 21 , 24 de m. Toutes les valeurs possibles de m sont donc comprises dans les formules

(3) 27/-f-(o, I, 2, 3, 5, 9, 10, II, i3, 18, 19, 20).

16. En combinant les formules (2) et (3), nous trouvons 72 progressions arithmétiques, dont la raison est 675, et dans lesquelles sont renfermées toutes les valeurs de m qui satisfont au problème proposé. Pour les construire, nous avons d'abord à résoudre Téquation indéterminée

On trouve aisément la solution a^o = i3, jo = '^- Or, si Ton désigne par a Tun des six nombres o, i, 5, 10, i5, 20 et par ^ l'un des douze nombres qui figurent dans la parenthèse de la formule (3), nous devons résoudre l'équation

afin de faire accorder les deux formes du nombre m :

Pour cela, multiplions l'équation (a) par (/3 — a) et comparons le résultat avec Téquation (fe); nous reconnaissons que cette dernière équation est résolue d'une manière générale par les formules

œ= 27X-f- i3(jS — a), j= 25X-h i2(j3 — a);

par conséquent toutes les solutions de notre problème sont renfermées dans la formule

Si nous voulons obtenir toutes les valeurs positives de m sans

Journ. de Math. (3« série), tome VII. — Mars i88i. i3

98 p. PEPIN.

attribuer à X des valeurs négatives, nous devons réduire le produit i3(j3 — a) à son résidu minimum positif suivant le module 27. Pour simplifier cette réduction, nous formons le Tableau des résidus des vingt-six premiers multiples de i3, en écrivant chaque résidu au-dessous du multiplicateur correspondant :

Nous obtiendrons les formules cherchées en prenant dans ce Tableau le résidu du produit i3(]3 — a) au-dessous du nombre auquel se réduit le facteur |3 — a suivant le module 27. Nous partagerons ces formules en six groupes, correspondant chacun à l'une des valeurs de a.

/3 — a = /5 = o, î, 2, 3, 5,9,10,11,13,18,19,20, i3(|3 — a)^o, i3, 26, 12, II, 9, 22, 8, 7,18, 4,17.

I. m = 67JX -+- 2j(o, 4» 7f 8, 9, II, 12, i3, 17, 18, 22, 26).

II. m= G75X -+- 25(o, 4» 5, 9, i3, i4, 18, 21, 22, 23, 25, 26)-+- 1.

III. m = 675X -h 25(o, I, 2, 6, 7, II, i5, 16, 20, 23, 24, 25) -f- 5.

lOO P PEPIN.

I — y^ ne peut avoir que Tune des valeurs i, o, 6, 4> ce ^wi exclut les valeurs 5 et 2. On doit donc rejeter les valeurs de m pour lesquelles f[jn) se réduit à l'un des nombres 2 ou 5 suivant le module 7, c'est-àdire toutes les valeurs comprises dans les formules

18, Suivant le module ii, l'équation (i) multipliée par 3 donne la congruence

Or on a

j2=o, I, 3, 4, 5, 9, 2(1— j^)=o, 2, 5. 6, 3, 7 (mod. 11).

On doit donc rejeter les valeurs de m, pour lesquelles* le résidu de /"(m), suivant le module 1 1, est l'un des nombres i, 4f 8, 9 et 10. Or

/(±i)= 6it:i= 7, 5,

/(dl2)= 2±:8=IO, 5,

/(±3)= lozbS^ 4, 5, /(dz4) = - 3^:9^ 6,10, /(dz5)^ 7±4= o, 3.

On doit donc exclure les valeurs de m renfermées dans les formules

iia?+(2, 3, 7).

19. On déduit de même de l'équation (i), multipliée par 3 et réduite suivant le module i3, que le nombre m doit vérifier la congruence

/(/w) = 6m^-+-m(m^-2) = 4(7^- i) (mod. i3).

Les résidus quadratiques de i3 étant o, i, 3, 4f 9» 10, 12, les valeurs possibles de [\y^ — 4 sont

9, 10, 12, o, 5, 6, 8 (mod. i3).

dl 2^-^*/?>/)*— l

dl 2^-^/?>/)— l