DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS IMPLICITES EN UNE SERIE
Sur le développement des fonctions implicites en une série ; Par m. F. GOMES TÈIXEIRA,
Professeur à l' Université de Coïmbre (Portugal).
On connaît la formule de Lagrange qui sert à développer en une série ordonnée suivant les puissances de x une fonction
Nous allons dans cette Note présenter une formule plus générale que celle de Lagrange, qui sert à développer en série ordonnée suivant les puissances de x une fonction w,
\y = t + xrf, iy) + x" <^^{y) +. . .-H ot" 9„(r). Dérivant la deuxième des équations (i), on trouve
'L =^ ? ' C^) -^ 2 a? ?, (j) + . . . -4- nocf-' y„ [y)
278 GOMES TEIXRfR\.
d'où Ton déduit ou
Mais, étant
rh/ __ du dy da du dr
dx dy dx^ dt '^ dy di ' nous avons
OU
I f \ dn ^ du
-4) ■:jz = ^-
OÙ l'on
dx '" ^ dt
pose
(5) 5:==^(eV->,-Cr)j,
Dérivant l'équation (4) et ayant égard à l'équation (2), il vient
^* " — . ^^^ £ du / d^ ^d^ dy\ dx^ ~ 5!^ "^ 5J [dl' '^ d} 'ttj '
d^u d}u s^ du 6/6 dy
d^t '^ 'di^ ^ Tt d^' ~S~r
d^u __ d^u ^2 du f d^ - <yft //v\
d^^^lF^ '^ dt\d^~^ ^^d^'Ht)
d^u ^{Tn^J du dfi
donc
ou
dx* ~' dt dt dx
En dérivant (6), on obtient de la même manière
d*f—bi\ d(^'\—\
i . d^u \di / « \^ dx / du ^6
^7) d^i — df* ^ ^ di ^ ^ Sx»'
DÉVFXOPPKMENT DES FONCTIONS IMPLICITES EN UNE SÉlilE. Q79
H après
d^n \dt I ^ \dt dxj
dx'
dt^
dt^
^ di "^ -* ' dt
du ^0 6?7 5ï'*
On obtient les dérivées suivantes de la même manière. Nous allons en chercher la loi.
En général , représentant par 0\ 6", 6", ... les dérivées de par rapport à Xj on a
dx
et par conséquent
ou
^-l^('gl<*-)-*s)'-"''-"'
^-['"S(^-fa«)«'<«')-(-)'-
dx
"=Sl
dt""
du ,
^a-i rf^e*(e')'"(e')/'-'(o*')^^>...l
28o GOMES TEIXEIRA.
Comparant cette formule à la formule (8), on voit que chaque terme de (8) donne une somme de termes qu'on forme de celui-là en olani une unité à l'exposant de chaque facteur i, 0, d\ 5", ... et en l'additionnant à celui du suivant, et donnant pour coefficient au terme Texposant qui a été diminué.
L'ordre de la dérivée par rapport à / qui entre en chaque terme est égal à la somme des exposants de 0, 0\ 0", . . . dans le terme moins une
unité. En effet, cela est vrai pour la dérivée -j—^y et par la formule (9)
ou voit que l'ordre de chaque dérivée augmente d'une unité dans le
f^a — I ff fia »,
passage de y-;^3^ ^7~^' ^^^^^ m^^ ^^ somme des exposants de ô, 0\
Nous avons donc, en remarquant que les dérivées de d'ordre plus grand que n sont nulles, la formule suivante,
où Ton doit donner à a, /3, 7, .... X toutes les valeurs entières et positives qui satisfont à l'équation
et où b est donné par la formule
Il ne nous reste qu'à déterminer le coefficient A. Pour cela nous ferons
et nous aurons
w Y ^^^» // ii^\ i^\ /d"yy r' ~ 2j dy^^' \dx) \dP) " \^j '
Mais on trouve dans le Calcul différeniiel de M. Bertrand la for-
DÉVELOPPEMENT DES FOIfCTIONS IMPLICITES EN UNE SERIE. 281
mule suivante, qui donne la dérivée d'ordre i de u étant u=/{y),
d^ti V dPu \dx) \f/j?V W^"/
djT^ ^ ' *** dyP 1,2. , ,oL (i ,2)^1 .2, . ,^ (1.2. . . /i)*' 1 .2. . .X OÙ
La comparaison des deux formules précédentes mène à la valeur de A qui, substituée dans la formule générale, donne la suivante
^6|^^e-(6')no')T...(e(« »y^]
di u \ " " ' " ^ dt^
dx^ ^ i.a . . .« X 1.2 .. . p X . . . X 1.2 . . .X(i.2)*(i .2.3)P. . . (1.2 . . . /i)^'
Nous avons ainsi rexpression générale de la dérivée de u par rapport à J7 de la fonction (i).
Pour obtenir maintenant le développement de u en série ordonnée suivant les puissances de x^ nous emploierons la formule de Maclaurin
et les coefficients seront donnés par la formule précédente, en y faisant a? = o.
En y faisant donc a? = o, nous aurons premièrement
Ensuite les formules
^ = '?^{y) + 2a;î>,(y) + ... -t- nx"-'(f„{y),
$" = 3 .nftiy) + ... -h n{n - i){n - 2)x"-*<p„{y),
Jowtt. de Sfatli. (3* série), tome VII. — Aoct 1881. 30
^Sa GOMES TEIXEIAA. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS IMPLICITES.
donneront
Noms aurons donc
En général
\da;^/o Zà 1.2. . .ax ï.3 . . . P X ... X 1.3 ...X<i<^
OÙ Ton doit donner à a, /3, y, ..., X toutes les valeurs entières et positives qui satisfont à l'équation
« -4- 2]3 -h 'iy-h... -h n\ = i
et où h est donné par la formule
6H-i = a-h/3-h7-4-...-hi.
Nous avons donc la formule
/V / y TU / 1.2 . . . /l^jl.2...« xi.2...px...xi.3...X^/^
qui contient comme cas très particulier celle de Lagrange.
