I - = A sine? -f-A'cosç, -i = A, sin©, -h A' cos

- = Rsin© -hB'cosç>, — = B, siny, -h B', cosf ,, ...,

- — Csin^ -hC'cosf, ^ == C, sinç), h- C,cosy,, . . ,

'J7) rf/ = e!f? = Pl||îi = ....

Quant aux constantes A, A',..., B, B', ..., elles doivent, dans chaque groupe vertical, vérifier trois relations telles que les suivantes, qui résultent de la reconstitution de p* ou ^ au moyen des expressions (6),

les premiers membres désignant ce que deviennent ^, f, F quand jr, r, z, . . . sont remplacés par A, B, C, ..., et en même temps j:', y, z\ .., par A',B', C, ....

L'intégration du système complet (i) est ainsi r«imenée à celle des équations (5) et (7).

§ II. — Transformations particulières.

Si dans la première équation (5) on remplace /^^ par -f , celte équation devient

iVoix^ par la differentiation,

, • (P^ , „ di dK .

On arrive encore à cette dernière équation, en observant que les équations de définition (2) et (3) donnent tout de suite, en ayant égard

En éliminant F et f, on retombe sur (ro), dont (9) est une intégrale première.

On peut remarquer que Télimination de R entre les deux dernières (/) fournit

ou, en vertu de la première,

cdi .dî „cfF

rc qui redonne, par l'intégration,

A cause de

di^?^,

réquation (5), en prenant df constant, revient à

Soit actuellement

— pG-S)-

une fonction linéaire homogène dont les coefficients sont des con-

stanles quelconques; on aura

ot la combinaison de cette dernière équation avec (5) donnera, connue pour X,

z = mps\u{(p -h €),

m et £ étant deux constantes arbitraires, vérifiant à cause des formules (6) les deux conditions

2Aa = m cose, 2 A'a = m sin£.

En vertu de l'équation précédente, ces mêmes formules (G) pourront s'écrire

on posant

el, = Aross 4- A' sine, .^'=:— A sine -f- A'coss,

xjl, = B COS6 -h B' sine, ui/ = — Bsine -+- B'cose, » >

les nouvelles constantes «i,, •^j' , ... devant satisfaire aux conditions

2a^ja = /w, ^«Ca = o, .f (ji,, uî>, . . .) = I, cf (,.C ui,', . . .) = I, F(a>, .1/, -ïfe, T)i', . . .) m o.

On s'assure d'ailleurs que Téquation (i i) se transforme dans la suivante :

OU

en posant

Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, à cause de msin(y -h ê) = -, d'où mp^cos(9 H- 2)^ = p — z-î^ le second membre de l'équation (12) revient successivement à

\ (i\ \y df^J "" p« f/ç kd^ Vp« c/ç/ "~ 5p« d^\p* d^p

en substituant au dernier membre, au lieu de -^ ^» l'expression équivalente

dl

y COS (y -h 6) - m sin(? 4- £)^^>

on retombe sur l'équation (11).

On remarquera qu'en posant

7713= Sy^i 4- u^, d'où résulte

y = COt(9 H- c),

la formule (12) peut encore s'écrire

c'est-à-dire

Suivant qu'on emploiera les coordonnées p et 9 ou p et |, ou enfin y

et|, il faudra joindre à (i i) ou à (12), ou enfin à (la^), l'une des équations suivantes, dont le premier membre est toujours kdl, savoir :

(11) kdt = 6- (h = — - — ^ - = -du.

Il est presque superflu de faire observer, que dans les groupes (1), les quantités R, R|, ... désignent des fonctions tout à fait quelconques connues ou inconnues, et que si Ton voulait faire rentrer le premier de ces groupes, par exemple, dans le type caractéri>tique pour les forces centrales, il suffirait d'écrire

OÙ

r = six^ 4- y- H- r.*"' 4- . . . , A étant censé représenter la force centrale proprement dire.

t^ III. — Relations entre les diverses constantes et les valeurs initiales des variables et de leurs dérivées premières .

lorsqu'on adopte les coordonnées p et 9, les coefficients qui figin-eiit dans p sont censés généralement des constantes données. La constante» arbitraire k, qui correspond à la constante principale des aires, est définie en fonction des valeurs initiales x^^y^, . *">oo\,y\, . . . répondant à / = o par la relation

Les relations (6) et leurs différentielles premières donnent ensuite

A = Mot, -H M'a?; , B = Mj„ -+- Wy\, ,

PORCES CENTRALES. a') 7

en posant

M = îi^l' ?^. COS?., M' = ^ co8?„.

el il faut observer que

II est facile de reconnaître que, avec ces expressions des constantes, les trois conditions

sont identiquement satisfaites. On a, en effet,

i( A, B, ...)-= M^f (a-o, . . . î -f- 2MM'F(a7o. <, . . .) -f- an.f «, . . . ;.

F(A, A', ... ' = MN.f (o'o» . . .; + (lVIN'^NMOF(xo,<, ...)-MVI'N'J(jr;,...},

et il suffit de substituer aux seconds membres les expressions précédentes de M, M', N, N' pour constater que ces seconds membres se réduisent respectivement à i , i , o, en vertu de Texpression P écrite un peu plus haut. Quant à la constante arbitraire 9^, quand on aura intégré l'équation (12) jointe à (i3), ou cette dernière équation jointe à (5), les trois constantes introduites par cette intégration se détermineront en fonctions de p^, p'^^ o^, mais cette dernière quantité restera tout à fait arbitraire; on peut la considérer comme im paramètre de constitution propre au système des coordonnées p et ©, et lui donner telle valeur déterminée qu'on voudra.

Si Ton fait usage des coordonnées p et |, les valeurs des constantes i., .1/, . .. sont

k m ^ km

»^ — T ii: *^n "f" /- .^ *^o»

2^8 t. COMBESCDRE.

la constante k ayant la valeur déterminée ci-dessus. On reconnaît que ces expressions rendent identiques les deux relations

lxa = m, 2.Va = o.

Elles rendent aussi identiques, d'après ce qui précède, les trois autres équations de condition. Cette même constante k peut aussi se déterminer au moyen de l'équation

pî pp' —

VA*-ï.

où Ton mettra pour a?, j, . . ., x\y, . . . leurs valeurs initiales, en prenant encore

Po/^o=F('^0'^o'---)-

L'équation précédente, où p et Ç restent quelconques, servira avec (12) à déterminer p et — en fonction du temps : les constantes introduites

s'exprimeront au moyen de p^, p'^, -^> ^y en sorte que m restera indéterminé et pourra recevoir la valeur particulière qu'on voudra.

Quand on ne veut pas faire figurer les valeurs initiales de x, y^ . . ., 0?', y, . . ., il y a lieu d'examiner, suivant les cas, quelles sont les constantes, tant A, A', . . . que celles qui entrent dans S, dans .f et dans les intégrales définitives, qui restent vraiment arbitraires et celles qui sont des constantes de constitution. L'exemple suivant mettra en évidence le sens précis de cette remarque, sans qu'il soit nécessaire d'y insister.

Il est presque superflu d'introduire ici la remarque générale, à savoir que la coordonnée p n'est autre chose que le paramètre de similitude de formes quadratiques homothétiques, et § le paramètre analogue pour les formes linéaires.

FORCES CENTRALES, q49

§ IV. — Mouvement suivant une conique.

Une conique à n coordonnées x^ y^ z^ ... peut être ici définie par l'équation

où h est une constante. En différentiant cette équation et ayant égard à

on aura successivement

et réquation (lo), § II, deviendra

On en tire

G étant une constante arbitraire. Cette expression, sauf la présence ici de n coordonnées, est précisément celle trouvée par M. Yvon Villarceau [Connaissance des Temps pour iSSa), et Ton peut regarder l'équation

Gr

comme définissant, au point de vue dynamique, la force centrale la plus générale propre à faire décrire librement une conique à un point matériel.

Les expressions (/), [g) de § et de R, substituées dans (9), fournissent ensuite, entre § et /, la relation au moyen de laquelle s'achève la solution.

Journ, de Math, (3» série), tome VII. — Juillet i88i 32

aSo É. COMBESCURE.

Si Ton veut faire usage de l'équation (12), en introduisant dans cette équation l'expression (i) de éf, on obtient

On déduit ensuite de la seconde (i3) kdt'

et, en posant

? = m»-f-mVm^-l-Acos«^, Jiijr:^-^^ vT^ÏX^ "" ""'

il en résulte, en ayant égard à (6') et désignant par t une constant<* arbitraire,

; n^ -+- T = M^H-esinçv,

i x= a(e-4-cosM^)-l- a'sinw^,

(^) < j^ = b(e + cos«^)-l-b'sintv,

z = c(e 4- cosfv) -h c'sinqp',

les nouvelles quantités a, a', ... qui sont mises à la place de x y/m^-hhj X' \jm^ -+- h , . . . devant satisfaire aux deux relations

laa = myjm^-+- A, 2a'a = o.

£n faisant

->l^(/W» + A) = jUL,

et regardant a^ ^^ ..., h^ [i comme des quantités données, les expressions ci-dessus renferment le nombre tan de constantes arbitraires exigé par l'intégration. On remarquera que l'équation (g^i) peut encore s'écrire

(fl^) R = — - — ; -r, ou bien R = ^'

Je suppose inversement qu'on se donne l'expression

OÙ gk^ = II. IjSl formule (f 2,), en faisant /?| = i/ p^ j5 fournit par

première intégration

r ' " g -\-vh

c et c' étant deux constantes arbitraires. Si Ton introduit cette valeur de (9, dans les équations (6'), on obtient, en écrivant x au lieu de

et l'on a les deux conditions

I,Xa = m, lX'a = o,

ce qui réduit à 2w — j, comme cela. doit être, le nombre des arbitraires, c compris, qui figurent dnns ces n équations. Par la substitution

qui réduit le radical ci-dessus ki/ g(h -H - ) sinq^, et en tenantcompte

de la seconde (i3), on se ramène aux formes (a). Tl faut observer qu'en adoptant directement les expressions précédentes de a?, r, . .., qui définissent une conique, et se rappelant que

J(.^, ...) = I, ^(X', ...) = I, F(al>, X', ...) =^0,

on aura

ce qui revient à dire que, dans l'expression ci-dessus de p^, c'peut être supposé égal à zéro.

Cette expression de p^ doit être modifiée lorsqu'on suppose g-hch égal à zéro. L'équation diflférentielle qui précède l'expression dont il s'agit devient alors

On en tire

et l'on peut prendre, par suite,

m \ 2 IJ

avec les conditions

2xoL = m^ 2x'a = o.

Sans se préoccuper de la coordonnée j»,, on reconnaît que ces expressions satisfont à

pourvu que l'on détermine Ç en fonction de t, par l'équation du premier ordre

où, bien entendu,

mais on voit que les expressions intégrales qui précèdent ne renferment que 2/1 — 2 constantes arbitraires, en sorte qu'on n'obtient qu'une solution particulière de la question.

r^ formule (12) devient illusoire lorsqu'on suppose

h étant une constante quelconque, c'est-à-dire lorsque

jO = cÇ4-A, ou, ce qui revient au même, en excluant le cas de p constant quand

I/équation (9) fournit alors, en ayant encore égard à -t^j = RH,

L'équation (11), qui est seulement en défaut dans le cas, qu'on peut exclure, où 9 serait constant, donne, par suite,

- = j -i-csiny-hc'cosf,

c et c' étant des constantes arbitraires. On a, par conséquent, d'après les formules (6),

A sîn© 4- A'cosç

T -f-C91IHpH-c'C0S«p >

ce qui définit une conique. Il entre dans ces expressions de j?,^, ... les 271 constantes arbitraires X^ X\ . . • et les trois t> c, c'; mais il n'y a visiblement que 2/1+2 constantes indépendantes, et à cause de

ce nombre est réduit au nombre voulu 2/1 — i . En posant

j- 4-g^cos((p4-fi)= j -hcsinç4-c'cos©,

254 é' COMBESCUBE.

et faisant usage de la substitution connue

COS(© -tê) = 7—^ — '

on aura

et Ton fera rentrer les expressions précédentes dans la forme (a), y compris Féquation déduite dep* dff = kdl.

Comme Téquation écrite un peu plus haut, entre p et 9, peut se mettre sous la forme

h^ p -h pghcos{o-hs)y

et qu'on n'altère pas la forme des équations (G) pas plus que les trois conditions

en donnant à g la valeur qu'on voudra, on peut poser

ghcos{rp-hî)= — B,

et l'on est ramené à l'équation

d'où l'on peut conclure qu'il n'y a pas d'autre forme que Tune ou l'autre des expressions (^2) donnant à R la composition analytique requise en ce qui concerne l'intégration, résultat que M. Darboux a établi par d'autres considérations, en faisant connaître en même temps la seconde forme (^2) de K{Comptes rendus de r Académie des Sciences. avril 1877).

Revenant à la théorie générale, il est à peine nécessaire de signaler trois cas où le problème d'intégration se résout immédiatement par des quadratures :

I® Celui où, dans la formule (i i), on suppose

2^ Celui OÙ, dans la même formule, on prend

3** Enfin celui où, dans la formule (12) ou (i 2, ), on suppose

3'ajouterai, pour le cas le plus important de deux coordonnées rectangulaires x^ y^ les relations qui ont lieu entre les diverses constantes, quand on fait usage simultanément des coordonnées /» et |, auxquelles on fait correspondre les formules (6'). On a, dans ce cas,

i = ax^ H- by^ H- 2cxy, Ç = ao? h- ]3j,

avec les cinq conditions •

aX^H-6ift)'H- 2rX'ift» = I,

ax.l,'-4- AiPoife'-f-c(X'\ft,'-h ifccA,') = o,

x'a H- ifc'P =0.

Si Ton désigne par k' la constante des aires, telle que généralement

dx dy jj

on a ici

k^={ab^c^)[yx'-xy)\

en sorte que, en donnant à ^ et ^' le signe qu'on jugera à propos, on aura

\Jab — c* et Ton pourra particulièrement écrire, sous les deux formes suivantes.

le groupe des cinq relations ci-dessus

§ V. — Mouvement dans un milieu résistant.

Je suppose qu'au lieu des équations (i) on considère les suivantes

g: = R7-+-vy, ^=:R.y.4-v.y.

où jusqu'ici R, R,, . .., V, V,, . . . sont des quantités tout à fait quelconques pouvant dépendre, quand elles sont données, de toutes les variables -r, y, . . ., ir|, j^,, ... de leurs dérivées premières x\y, . ., j*^, y, , ... et de la variable indépendante /. En introduisant une fonction auxiliaire T, telle que

l'élimination de R entre les deux premières (i'), par exemple, donnera

œy — yx'

const.;

l'expression jf — F^, qui figure ^ns le dernier terme de l'équation (4),

FORCES CECTTRALES. 2^*]

J} I, deviendra donc ici égale à ^*T^, en désignant par k* une constante arbitraire. Cette équation (4 ) deviendra, par conséquent, ep ayant égard

Soit encore en sorte que

Si Ton fait

= *Tv/n,

cette équation pourra s'écrire

et Ton aura, par suite.

On a, d'ailleurs.

2^mdC -^-*

ce qui transforme l'équation (4') dans là suivante :

On lire de la, par l'intégration, m étant une constante arbitraire, et, par conséquent,

Journ, de iiath. (3* série), tome VII. — Aoct i88i.

258 É. GOMBESCIIRE.

Si l'on fait» î étant une constante quelconque,

cette équation deviendra

sinfqp -h s) == — ,

et l'on aura en même temps

f 1 3') iï dt = ^^\^: = ,>» df.

A cela il faut joindre (i4) T"^=^ ^^ ^V^^"^~V ou encore ^— =^>'V,

et Ton a toujours les équations (6) ou (6') avec les relations des constantes

I 2x« = m, 2-Va=o.

On observera qu'en posant il faudrait écrire

si Ton voulait faire figurer dans le calcul la résistance propré^nient dite U.

Dans le cas où cette résistance U est proportionnelle à la simple vitesse y^ V est égal à la constante — /i', de sorte que, craprès ; \\\

T = e-"', et, par suite,

FORCES CENTRALES. sSg

De là résulte que, si une force ^o ^ît décrire dans le vide une certaine courbe, la force e"^"''^o fe''^ décrire la même courbe avec la loi de résistance supposée^ en choisissant convenablement les circonstances initiales, seulement le mouvement angulaire sera changé. Ainsi.

j>oin' les coniques précédemment considérées, la force e~^'^^ ^ fera

décrire librement ces coniques, comme s'il n'y avait pas de résistance» de milieu; mais il faudra, dans la première formule (a), § IV, écrin»

, e""'' au lieu de /, ce qui altérera le mouvement angulaire

De même que la racine carrée de la forme quadratique joue le rôlr de myon vecteur, il est naturel, en suivant l'analogie, de faire jouer \c rôle de vitesse à la racine carrée de la fonction ^{x\y\ . . .), désignée par f au § I. En posant, pour un moment,

I z= mp sin(y H- fi), >3 = ^p cos(y H- s),

m et £ étant des constantes, on a, d'après les formules (6') du § II,

d'où, à cause des relations (i5), résulte

<F(a?',v',...) = ^+^' ou

On a aussi, par les mêmes formules,

F = pp\

et, en remettant ^f — F^ au lieu de ^*T*, on peut écrire, si Ton vent, l'équation (ï i') sous la forme

^=pAi-^'^j

a6o £. COMBESCCIIG.

§ VI. — Autre choix de variables.

D'après les équations qui définissent .f , f, F au début du § I, et en ayant égard aux équations fi') du précédent paragraphe, on reconnaît tout de suite que

OÙ j'ai rapproché la quatrième équation. En éliminant R entre les deux premières, il vient

de et, en mettant^ au lieu de 2 F au troisième terme du premier membre,

on retrouve la relation

^f-F» = Fr,

qui peut être regardée comme une intégrale première des équations (a).

On aurait des équations analogues pour le second groupe (1'), elc. Dans la question générale d'intégration de l'ensemble des groupes (i'), les quantités R, R,, . . ., V, V,, ... sont censées des fonctions données de toutes les variables /, a?, y, . . ., a?,, y,, ... et de leurs premières dérivées x\ y\ .' .fX\^y\^ — Au moyen des équations (6), § T, et des analogues, route fonction donnée de /, x^ x\ ... peut être exprimée au moyen de /, p, p', y, ç', pi, p',, f 1, 9',, . . ., et Ton doit adjoindre aux divers groupes, tels que (a), les équations

(*) *T = p*^f, *,T. = pîy;, ....

A cause de

/5 . F , v'.ff--F'

on peut aussi considérer V, et R, comme des fonctions des variables /, .^, f, F, 9 ; rf , , f| , F, , y , , . . . , et réduire, si Ton veut, chaque groupe, tel que(fl), aux trois premières équations, en y adjoignant

di ^

Je me bornerai, comme ci-dessus, à la considération d'un seul groupe (i') pour introduire diverses remarques.

Si R et V sont des fonctions données de /, y, .f , f, F, on a naturelment à intégrer un système de quatre équations différenrielles du premier ordre (a) et [V), Mais le nombre des intégrales fondamentales à trouver diminuera d*une unité si / n'entre pas explicitement dans ces deux fonctions : ce nombre diminuera de deux unités si / et ç) ne figurent pas dans les mêmes fonctions. Dans ce dernier cas, on aura, par exemple, à intégrer les équations simultanées

(0) %-^^^^ .Ff =f-HR.fH-VF.

et à effectuer les deux quadratures

Cette conclusion est tout à fait analogue à celle que formule Jacobi à la page 209 de son grand Mémoire Sur le Multiplicateur et que je me permets de rappeler :

» Unde variabilium electione effectum est, ut motus cometœ circa solem in œthere resistente tantum pendeat ab integratione duarum equationum differentialium primi ordinis inter très variabiles a, ^, r; qua transacta si determinantur ce et ^ per r, obtinentur y et tper quadrnturas, » ( Math, Werk€,\).

En supposant

26'2 É. C03rBESCT]RE.

les variables de Jaçobi sont

r = v/5. a='-{-^fKd3, fi =- n\

K ne devant dépendre que de r, restriction qui n'est pas nécessain* dans ce qui précède, et où R peut dépendre de rf , f, F d'une manière (fuelconque.

Ijes équations (a) fournissent la combinaison

d'où résulte

d.i =^V' F'il,?--

t'C qu'on peut

encore écrire

ou a aussi

ib)

r/log(^f— F«) V

Dans le cas

particulier où

Téquation (ao) donne

.îf=CF^

(i étant une constante arbitraire. L'équation (/;') fournit alors

(^e qui définit la trajectoire que Ton peut ranger, si Ton veut, dans la

FORCES CENTRALES. 1l6i

classe des spirales logarithmiques. L'équation (b) donne, d'ailleurs,

et en chassant f et ^ du second membre, au moyen des deux intégrales précédentes, on sera amené à intégrer une équation différentielle du premier ordre, en supposant V indépendant de /. On aura ensuite / par une quadrature.

Les équations (a) et (b) mettent en évidence d'autres cas où l'on peut obtenir immédiatement une ou deux intégri<les. Par exemple, si l'on suppose

(a) -jr=T37(.f)<l>(^ p-j,

CT et * désignant des fonctions arbitrairement choisies, l'équation (a fournira sur-le-champ une intégrale indépendanle de toute hypothèse faite sur la loi de résistance.

Si Ton considère isolément l'équation (b) et que l'on suppose

^ et y désignant des fonctions quelconques, celte équation fournira tout de suite une intégrale indépendante de toute hypothèse faite sur la nature de la force centrale.

Il est clair qu'en adoptant simultanément les expressions (a), (/i de R et de V, la solution complète s'achèvera par deux quadratures.

En posant généralement

jf~F^=iv% f = wiv-, de façon que

F = \.iu — I w, T=T«^,

les équations (a) et (b) pourront s'écrire

^ ^ R. ^ — V di" ^v^' dé '^ 2v^^a — /

304 É COMBESCIÎHE.

et, en y joignant

on aura, sous une autre forme, les quatre équations qu'il s'agit criiitégrer dans le cas général où R et V sont des fonctions données quelconques de /, 9, J, f, F, cest-à-dire ici de t, y, .f , w, w.

§ Vil. — Z)«i multiplicateur relatif mi système {a). (k)nsidérons en lui-même le système (a), ou plutôt le suivant.

rii ftï d¥ flT d^

dans lequel je suppose que R et V sont des fonctions de ^, f, F, y indépendantes de t. I^e multiplicateur M, propre à ce système, pourra, conformément aux règles connues [loc. cit., p. 77) (*), être défini par l'équation

</lo-Af ,,dH .d\\ ff^V ^i)\

M! — ~ h 2F -VIT -h J3Î7 -h af-:,-p 4- F-^^^ -f- ^^ = o.

En admettant qu'il ait été déterminé par un moyen quelconque, si R et V ne contiennent pas y, soit

C étant une constante arbitraire qui n'entre pas dans 8, ime intégrale indépendante de / du système (a,); en l'adjoignant à l'intégrale

/. VTf — F^ ,

(•) Les détails dans lesquels j'entre ici doivent être considérés comme un simple rappel des principes posés par le grand géomètre dans le Mémoire ridessus mentionné.

le principe du dernier multiplicateur [loc. cit., p, loo) fournira la dernière intégrale

ôt)

[(RF 4- Vf) d:f F df] = const.,

(Foil Ton doit éliminer, comme on le sait, F et T au moyen des deux intégrales précédentes, après que les differentiations partielles auront été effectuées.

Si R et V contiennent <p, les deux intégrales censées données étant représenté(»s par

en les adjoignant à l'intégrale [d), la dernière intégrale sera

f f-~ r(iuf + Vf ^ d.1 - F dn ^ const..

ou

^ dF dF ,,,,, ^ r?e,

et j'écris ces formules (e), (fj dans Tunique prévision où Ton parviendrait à trouver une ou deux intégrales lorsque, R et V étant donnés, on connaît une expression de M vérifiant Téquation (M).

Dans le cas où R ne dépend que de .f et de y, en désignant par p un nombre doimé quelconque et ajoutant à l'équation (M) la suivante,

(|ui provient de {a^), on obtient e/logMT-/> çd\

Journ, tie Math, ( 3' série), tome VII. ~ Aoct 1881

26f> É. COMBrSCURE.

En égalant à zéro Tensemble des termes qui suivent le premier, on aura

iix,) U = TP.

Ainsi, quand R dépend seulemenJ de ^ et de 9 et que V est une fonction homogène de F et v^f de degré — (/? 4- /| ), pouvant contenir .f et 9 d'une manière quelconque, la formule (jjl, ) donne un multiplicateur du système (a, ). Si R et V ne contiennent point 9, il suffira, comme on Ta dit, de connaître une intégrale 6 pour ramener le problème aux quadratures. Par exemple, en prenant

auquel cas

P =— 5, l'équation (b), § VI, fournit

et la partie sous le signe / dans lequation (e) revient à la différentielle exacte

rs

ce qui ne doit être considéré que comme une très simple vérification de mes propres calculs. On aurait un exemple un peu plus général, en

supposant dans (/3) la fonction V égale à (.f f — F^ ) ^ '^ s R ne dépendant encore que de,f. L'équation (b) fournit l'intégrale 0, et l'on peut ensuite appliquer la formule (e).

Lorsqu'on suppose

rs{i) étant une fonction donnée quelconque; si R ne dépend que de ^, on a le multiplicateur (|i, ), mais il reste à trouver une intégrale 8 pour

pouvoir appliquer la formule (e). Ia difficulté est alors concentrée dans la recherche de l'avant-dernière intégrale.

Admettons encore que R ne dépende que de .f , en sorte que

^ étant une fonction donnée à volonté : en désij;nant par ^ et g deux nombres quelconques aussi donnés, et ajoutant à Téquation (M) les deux équations du système (a,), savoir : *

I dT ^,

d( ,/ ^\ dS fxT

- 9dl -^9^ (^) ^ -*- 2q(Y= o,

puis égalant à zéro tout ce qui dépend de V dans l'équation obtenue, on en conclura

ik',

4> étant une fonction homogène de F et v'f , de degré — (/> H- 4)» pouvant contenir ^ et 9 d'une manière quelconque. Si $ ne renferme pas y, la connaissance d'une intégrale suffira pour ramener le problème aux quadratures.

En dehors de cette forme V, qui correspond au cas signalé par Jacobi (foc. CI/., p. 208), il paraît difficile de découvrir quelque modification de Téquation (M), au moyen du système (a,), qui permette de trouver un multiplicateur ne renfermant pas /, et tel que les expressions de R et de V soient dans une parfaite indépendance Tune de Tautre.

J'ajouterai quelques remarques pour le cas du vide. Il faut alors sup-

poser V=o, T=: 1 et supprimer le terme intermédiaire *?c7 dans le système (a,). Si, à part l'intégrale

on en a une autre

la dernière intégrale ser.i

^^(Rrf^^rff)::^ const., (J'f

el si, en particuliej-, R ne dépend que de ê et de y, on peut prendre M=..

En conservant cette hypothèse sur la composition de R, soit

une intégrale première^ résolue par rapport à la constante d'intégration de l'équation (r i), § II, la dernière intégrale sera, M pouvant être pris égal à i ,

const.,

ou

. de

La varîàhle f ne pouvant s'introduire ici que par Tintégrah*

\/^l'— F* = k, le déterminant A se réduit à ^-^^ D'ailleurs, à cause de»

on aura

àB de tJ d^

et Ton pourra prendre pour la dernière intégrale

. (^P-P'^y) =: const..

/ (rfp-p 5?

en posant p' == ^ et supposant Tintégrale donnée écrite sous la forme qui correspond directement à la formule ( i i )

c'est, du reste, ce qui résulterait de ce qui est dit à la page 1 29 du Mémoire cité.

§ VIIÏ. — Mouvement des projectiles.

Les équations de ce mouvement sont comprises dans le type

W^-^Tt-^S^^

où g, gt9 gif ... sont des constantes données. En posant

V = v/r-^>î"H-r'-H... et e=|,

S serait la résistance tangentielle dans le cas de deux ou trois coordonnées rectangulaires Ç, ïj,'Ç, — Je considérerai généralement S et,

par suite, ô comme une fonction quelconque de |', y}',Ç', Cela

posé, si Ton fait

la di£rérentiation des équations précédentes fournira

a7<^ É. COMBESCURE.

ce qui rentre dans la forme (i'), § V, en prenant

A cause de

en différentiant la première (6), § I, on aura

A[(|o'— Op)s\nfp -+- py'cosçj-f- A'[(|3'— 6p) cos^ — p^'siny] = ^.

En multipliant et divisant par p = v^i, puis posant

, . (F — e.fUin«)-+- A-Tcosc» ^ (F — eif) cos^p — A-T sîn© .^,

Téquation précédente et les analogues peuvent s'écrire

1 AG + A'(;' = ^, is) \ BG-^B'(;'=g^,,

De ces dernières relations résulte

F(AG, A, BG, B, . . .) = F(^, A, g^, , B, . . .), c'est-à-dire

et de même

Il en résulte aussi g{g,g ) = .f(AG -I- A' G', BG 4- B'G'. . . .) = (i'^ G" = A».

On a

f = ^{x',y, ...)^ .iiOx + g, . . .) = 6-'^-h2eF{x,g, . . .) + A»

et, par suite,*

FORCFS CENTRA LKS. I7I

Ell désignant par ^o».)'o» ••• '^J* valeurs de x, y, ,.. répondant k / = o, ot par Fo la fonction T^{x^, g^fo* ffn " •)» '^^ relations (a) doniieronl, pour cette valeur de /, et en ayant égard aux égalités précrdentes,

Fq sin 'y o-i- y/A^ ef p — F; cos cpo

yJJo

Q, Fq COS ^0 — \/h^ ,fo — F; sin Çq

où ne figurent que les données initiales en supposant aussi donnés, comme je le ferai toujours, les coefficients a, 6, . . . qui entrent dans la composition de .f. Quant aux constantes A, A', B, B', . . ., en ayant égard aux relations {g), aux formules (6), § I, et aux précédentes expressions de G, G', on aura

où A^ = ^(g^,g^,, ...) ne dépend que de quantités données et où Ton peut attribuer à Ço 1^ valeur déterminée qu'on voudra, par exemple

- ou o.

Maintenant les équations (a) donnent

( F- 0^=:v^(Gsin(p-4-G'cos(p), I *T=v^"(Gco8(p — G'siny).

En faisant la somme des carrés et remplaçant k^T^ par eff — F*, on aura

Si l'on élimine f au moyen de cette dernière relation, leséquations(a).

a-ja

E. COMBESCl]R£

§ VI, deviennent

dt ^^'

^ = A»-Ô»^ + 3eF

1 dt ~ s

dt^^

Qtinnd on substitue dans ces équations les valeurs de F et de ArT, déduites de(|3), la seconde devient identique, et la première, comparée à la troisième, fournit, en réintroduisant p,

dp pô -h G sin^ -h G'cos^

d'^ ' G coscp — G' sincp

La fonction peut, comme je l'ai supposé, dépendre d'une manièi'e quelconque de |', ri\ . . ., c'est-à-dire de ar,y, z, . . ., ou enfin de p et ç, à cause des formules (6), § T. Son expression transformée contiendra A, A', ... ; mais, d'après les valeurs ci-dessus de ces constantes, on peut considérer comme dépendant définitivement des coefficients qui entrent dans ^, des valeurs initiales a7o,^o» ••• et des constantes données g, g^, ....

L'équation (s) étant intégrée et la constante qui s'introduit étant déterminée par la condition que p = Po pour ç = <po» '» dernière (y) donnera / par une quadrature. Cette équation (e), qui est exactement de même forme que l'une des équations dont on s'occupe dans la Balistique, pourra, comme celle-ci, s'intégrer dans le cas où l'on prend

' n étant un exposant constant quelconque, et/?, q des fonctions quelconques de 9. La résistance proprement dite étant généralement

s = ve,

f»t les calculs qu'il faut faire ici étant à peu près les mêmes que dans le cas ordinaire, on voit que, sans augmenter la difficulté analytique, on aura, par des transformations sensiblement pareilles, le mouvement

FORCES CENTRALES. :^']i

du projectile avec une loi de résistance représentée, soir par

soit par où

et oil p désigne toujours la racine carrée d'une forme quadratique quelconque.

Or, à cause des coefficients arbitraires a, b^ . . . qui figurent dans p, on peut, en les déterminant convenablement, rapprocher davantage les résultats du calcul de ceux fournis par l'observation, bien que Ton fasse dépendre implicitement de la direction la résistance du milieu quand on ne réduit pas p^ à une somme de carrés.

La quantité étant censée exprimée en ^ et y, on a généralement

^ ^ at Of df ^

Si, en particulier, 6 est donné en fonction de .f seulement, les deux premières équations (y) fourniront, en réintroduisant p,

Quand on aura intégré cette équation, l'angle y sera donné, sans intégration nouvelle, par la première équation {^), et Ton aura ensuite / par une quadrature.

L'équation {â) est immédiatement intégrable lorsqu'on suppose

m étant une constante quelconque. En faisant, pour un moment.

Journ. de Math. (3* série), tome VU. — Aodt i88i.

2^4 Ê. COMBESCDAK.

celte dernière relation peut s'écrire

dx

Elle admet la solution parliculière

et Ton en conclut, par suite, pour la solution générale.

j> gt^-Hff.' 4 g-(X-Mr)

c étant une constante quelconque. Une pareille loi de résistance ne peut physiquement convenir. Il m'a paru néanmoins intéressant de la signaler, les seules lois où Ton soit parvenu à réduire le problème aux quadratures étant, à ma connaissance, comprises dans la iPormule ^5=^-4- yp", quand on y suppose que p désigne la vitesse.

Dansla question présente, on a un nombre suffisant d'intégrales pour appliquer le principe du dernier multiplicateur; mais, en se reportant à l'équation (M), § VIT, et à l'expression ci-dessus (r) de R, on s'aperçoit que la détermination du multiplicateur M n'offre pas moins de difficultés que l'intégration directe de Téquation (s) ou de l'équation (^ j. Cette équation (d), en changeant la notation, se rattache au type

rg - X + x.^,

OÙ X, X| sont des fonctions données de x. Si l'on cherche un multiplicateur eulérien de la forme

où y,, 92» ••• sont des fonctions inconnues dear, et m un nombre

entier quelconque, on peut déterminer 9,, fa, . . . moyennant une certaine relation entre X et X, ; mais celte relation, pour le cas de Téquation (5), fait dépendre la loi de résistance de l'intégration d'une équation qui n'est pas plus facile à traiter que l'équation ( J), bien qu'on puisse se borner à une solution particulière.

Dans de telles conditions, et si l'on veut adopter une loi de résistance autre que celle dont on a parlé plus haut, il faut revenir au procédé des approximations successives. En supposant que 6 ne dépende que de rf , il m'a paru qu'il y avait quelque avantage à conserver / comme variable indépendante. I^s deux premières équations (y) peuvent alors être remplacées par l'équation du second ordre

2 de*

En admettant que la densité du milieu est assez faible, on pourra supposer

i étant un nombre très petit, et a, a^, a^, ... des coefficients finis censés connus. Si l'on conçoit § développé suivant les puissances positives de 6, en sorte que

II, u,, ... étant des fonctions inconnues de /; en substituant cette expression de ê dans celle de 6, puis dans l'équation différentielle, et égalant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de s, on aura une suite d'équations différentielles qu'on pourra intégrer successivement, en déterminant les constantes arbitraires par la condition que a,, W2» • • • ^^ leurs dérivées premières s'évanouissent avec /. Quant à M, qui répond au mouvement parabolique, on aura

u = h^t'^ ^ xt -h uî,.

X et ill seront fournis par les valeurs initiales x^^ y^, . . .'; u, sera donné