SUR QUELQUES THEOREMES DE MÉCANIQUE
II. — L'accélération d'un point dirigée vers un centre fixe est proportionnelle au cube de la vitesse, au rayon vecteur et à la courbure de la trajectoire.
Comme dans le cas précédent, la courbe est plane. Soient O le centre fixe, r — Om le rayon vecteur, a l'angle qu'il forme avec la normale. L'indice o continuera à distinguer les notations qui se rapportent à un instant déterminé défini par la valeur t^ du temps /. On a, d'après le principe des aires,
(^0^0 cosûCq = vr cos a,
el l'équation (i), qui est générale et applicable dans tous les cas, donne
rv
prç cos a p/'o<^o cosa^
expression dans laquelle on ne devra considérer que les valeurs absolues de ç, p, cosao- Le théorème énoncé se trouve ainsi démontré. Remarque. — Des formules {a) et (5) on déduit
p __ rv
c 2/'oro cos a»
d'où un nouveau théorème qu'il est facile d'énoncer.
Applications. — i° Rayon de courbure de l' ellipse. — Considérons l'ellipse comme décrite par un point dont l'accélération est dirigée vers le centre de la courbe et égale au rayon vecteur. Soient Ox, Oy les directions de deux demi-axes a, 6; A, B les sommets de ces demiaxes. Nous aurons
'di^ "" ■" ^' d^
dt^ " y^
36 H. RESAL.
d'où, en appelant M, N, M', N' des constantes,
x = M cost -+- N sin/ -+- y = M' cost -h N' sin t.
Prenons pour vitesse initiale celle du passage du mobile au point A ; 3US aurons pour / = o,
dx dy
nous aurons» en remarquant que a? =r a, -^ r= o, y == o, -^ = ç^
x=: a cos/, 7 = (;oSin/,
d'où
et
D'ailleurs «0 = 0, r^ = a, ç = r et, d'après l'équation des forces vives, f'* == (^ J — (r* — rj ) = a^ -f- 6^ — H ; la formule ( 5 ) donne par suite
2® Rayon de courbure de V hyperbole. — Soient Oa?, Oy les directions de l'axe réel 2a et de Taxe imaginaire a 6 de l'hyperbole.
Nous pouvons considérer la courbe comme étant décrite par un pdint dont l'accélération, dirigée suivant r = O/n, est égale à ce rayon vecteur. Nous avons ainsi
d^x __ 'dF"^'
d'où
d\y dt^ ■
x---M^'+Ne-S
y = MV-^NV^
38 n. RESA.L.
d'où
(6) co = -=~-
dt
L'équation (5) devient alors On a d'abord
dr dr k dr
dt' "^ dt Vr» d^)'^ d^ V/« ^ y ~" r« Vr« ^' r* ^V'
La vitesse i^ étant la résultante de -j- et de or, il vient
D'autre part, l'accélération absolue y n'est autre chose que la résul-
d^r tante de l'accélération relative -t^t- et de l'accélération d'entraînement
aV'
— w*r estimée suivant le rayon vecteur. On a ainsi
Enfin la formule (5') donne, en ayant égard aux valeurs (8) et (9), , V \ d'^r ol dr^ , r / 1 dr^
^^^f ? dd '^7^d^ ~^ pV '^ 56»"^'*
Soit r^aO""; on a
Hm-3)(£)-%,=±:[»..(0"^.]l
4o H. RESAL.
On évaluera ensuite la composante géodésique (perpendiculaire à la vitesse dans le plan tangent), dont on déduira la position du plan osculateur, et par suite le rayon de courbure de la courbe donnée.
Emploi des coordonnées sphériques. — Soient [fig. i )
Fig. I.
Oz Taxe de révolution;
Qy la perpendiculaire en un point O de cet axe comprise dans le plan
du méridien mobile; t|^ Tangle formé par Qy avec Tune de ses positions antérieures bien
définie Qy^ ou, si Ton veut, la longitude du méridien mobile ;
SUR QLKLQUES XnÉORÈMES DE MÉCANIQUE. 4'
m la position du point décrivant correspondant à la longilude vj^, à la latitude = mOy et au rayon vecteur v = Ç)m\
7/2 1 = vcosC le rayon du parallèle passant par m;
dn = yj'dt^^'-h x^'^do'-h x.^cos' Od^^ Tare élémentaire de la section méridienne;
a Tangle formé par la normale à cette courbe avec Om, et qui est déterminé par la relation
Soient , de plus,
R le rayon de courbure de la section méridienne; J l'intersection de la méridienne avec Oj^;
T, P les composantes de la force extérieure estimées suivant la méridienne dans le sens de dO et la tangente au parallèle dans le sens de ^.
Nous avons
; 2) mJy = S -h 90^ — oc.
Si entre les équations de la courbe donnée on élimine successivement ^ et V, on obtiendra deux relations de la forme
dont la première n'est autre chose que l'équation polaire de la courbe méridienne.
L'accélération relative de m est -tt^ • Les accélérations apparentes
dues à la rotation -j~ sont :
dt
i*' L'accélération centrifuge [a) vcosô^j
dirigée suivant Im;
Jourft. de Math. (3® série), tome VU. — Février 1881. O
4^ H. RESAL.
2*^ L'accélération tangcntielle d'entraînement changée de sens,
[b] vcosôf^t
dont la direction est opposée à celle de P ;
3® J/accélération centrifuge composée, due à la vitesse relative projetée sur le plan de Téquateur
d,m\ ^vrosO
"^~ ■" ~~dr~ '
et dont la direction est la même que celle de l'accélération ci-dessus ; elle a pour valeur
Le théorème de Coriolis donne, suivant les directions de P et de T, ,S = T— os«si„(«-.)^,
Si l'on prend pour variable w =^au lieu de /, et que l'on pose 0)' = Mt', on reconnaît facilement que ces équations deviennent
r^ d^(j i dw d7 ^ • f\ ' (f\ \^^^'^
-^ t, ( d}^ I d\v d^\ d^ dvcos^
V = .COSO (iV^ 4- - ^- ^j + 2W^ -^— .
On voit ainsi que w est indéterminé et que l'on obtiendra les expressions les plus simples de T et de P en supposant w^ ~ i , ce qui revient à prendre 6 = /. On a alors
d'^ dv COS 6
~dr'
jp=.cos4;î-i.2^
/|/| H. RF.SAL.
Application aux courbes sphériques. ~ Nous avons, dans ce cas,
En posant les équations ( 6) donnent
i -- R .= const.,
>nt
- sin6cos5 w^,
- = cosy-r- — 2Msm&.
Si la courbe est une loxodromie ou si i est constant, on a, en ayant égard à la formule (7),
laiifîi (!(( lan;ï/siiiO
U — r ) —jr = -TTi '
cosi r/0 c'os-C)
j^=tang^aang5,
-^^tangttangÊ,
^--langûangô
et enfin
tang/ = sinitangS.
Cette formule, qui se vérifie pour « = o et i — 90**, c'est-à-dire pour une section méridienne et les parallèles définis par les angles =b 5, montre que / est un côté d'angle droit d'un triangle sphérique^ opposé à l'angle 6, et dont l'autre côté d* angle droit est i, d'où une construction que l'on peut facilement effectuer.
Emploi des coordonnées cylindriques. — Soient
z l'ordonnée du mobile m, parallèle à l'axe de révolution O:; ; r le rayon ml du parallèle ;
46 H, RESAL.
Dans le cas d'un cylindre de révolution,
/• = const., da = dz,
tang£-r^J;
par suite,
L'équation différentielle des lignes géodésiques est donc P = o ou
d'où
^ ■= kz -\- G,
équation qui représente bien la famille des hélices.
Nous allons appliquer maintenant Tes formules ci-dessus aux lignes
tracées sur un tore.
Soient b = CO la distance à Ojs du centre G du cercle générateur ;
mG =: a le rayon mené en un point quelconque m de la circonférence ; f Tinclinaison de ce rayon sur OG. Nous supposerons, en nous basant sur les considérations exposées plus haut, ~ = i ou / = ©. Nous avons
r= t -h acosç?, 2=asin(p, d(j = adfj ^=z(p-h^o^.
En posant -1^ = w, les formules (3) et (5) deviennent
ï = (é -I- acos^)sinç)a^, P = (i-i-acosf)^
P = (i-i- acosf)^ Quasinç),
48 H. RESAL. — SUR QUELQUES THËOUÈMI^S DE MÉCANIQUE
qui est I equation polaire la plus générale d'un plan passant par le centre.
Nous ne multiplierons pas davantage les exemples. Qu'il nous suffise d'avoir montré que l'on peut, dans certaines circonstances, tirer un bon parti de la méthode nouvelle que nous venons d'exposer.
APPLICATIONS MÉCANIQUES DU CALCUL DES QUATERNIONS l\Ç)
^applications mécaniques du Calcul des quaternions; Par m. GENTY.
Préliminaires.
Le Calcul des quaternions commence à prendre faveur en France, grâce aux remarquables travaux de M. Laisant. Cependant il y a encore beaucoup à faire pour arriver à rendre familière aux géomètres français cette méthode si riche en applications, et qui, depuis longtemps déjà, est devenue classique en Angleterre et en* Allemagne. Il m'a donc semblé utile et intéressant de prendre pour sujet d'étude, à la suite de M. Laisant, quelques-unes des nombreuses questions de Mécanique auxquelles se prête d'une manière si heureuse la méthode d'Hamilton. Le présent Mémoire est consacré à l'exposition de 4a théorie de l'équilibre astatique, qui a fait Tobjet d'un Mémoire fort intéressant de M. Darboux, présenté à la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux.
Théorie de l'équilibre asiatique.
Soit un corps en équilibre soumis à l'action de n forces r, f^, . . ., de grandeurs et de directions constantes, appliquées aux points M, M, , ... respectivement. Cherchons les conditions pour que l'équilibre subsiste quand on fait tourner le corps d'un angle quelconque autour d'un axe arbitraire passant par l'origine.
Journ. de Jâath, (3« »érîe), tome VII. — Février 1881. 7
5o GENTY.
Le corps étant en équilibre dans son état initial, on a
(2) 2HIfm = o,
en désignant par r la résultante générale (ou de translation) des forces données.
Cela posé, une rotation quelconque du corps autour d*un axe arbitraire pourra être représentée par Q{ )0"*; étant un quaternion unitaire dont le vecteur a la même direction que Taxe de la rotation, et les équations de Téquilibre après la rotation seront
(3) 1V0mQ-*f^o.
L'équation (3), devant être vérifiée quel que soit 0, entraîne évidemment
1mQ~*f = 0.
Cette équation se décompose elle-même dans les deux suivantes :
ISSmQ"^ F = o, 21PmO"* F — o.
La première donne, en tenant compte de l'équation (2),
(4) 1SSfm = o,
et la seconde
2U.1I(?-'fm = 0,
ou, en développant et tenant compte des équations (2) et (4),
2m 5?f1IQ-* = 2f2m U (?-' = o,
ou enfin, en posant tPQ-* = l,
2f ^mx= 2m5>fx = 4>,x,
équivaut donc aux trois équations
Chacune des équations ci-dessus équivaut à trois équations algébriques ordinaires; l'équation
équivaut de même à trois équations ordinaires. Donc, enfin, les conditions (6) constituent un groupe de douze équations algébriques ordinaires, nécessaires et suffisantes pour l'équilibre astatique.
Des différentes positions dans lesquelles un corps fixé par un point et soumis à l'action de n forces de grandeurs et de directions constantes peut être en équilibre.
Supposons maintenant le corps fixé par un point sans être en équilibre dans sa position initiale, et cherchons les positions dans lesquelles il sera en équilibre.
Supposons que, par une rotation autour d'un axe passant par l'origine, on ait amené le corps dans une situation telle que les vecteurs
des points d'application des forces soient n, w, , Les conditions de
l'équilibre seront exprimées par
ou bien
ou encore
2liNF = o,
(9) 1il,4>I,-h1ill3*l2-h1il3*l3 = O,
en posant
*X = IF^NX,
La fonction $x a la même forme que la fonction Ô, x des paragraphes
54 GEKTT.
réqualion (i3) pourra se mettre sous la forme
(^ + G)li-l-(G,y + Gj) = o ou bien
^(ft-l-G,) = -(Gli-HG,), d'où
(2(n-f-G,)»=(Gft-hG,) ou enfin
(i4) n» + (2G,-G,)li*-H(Gî-2GG,)Û-GÎ = o.
Mais Cl est une fonction conjuguée à elle-même qui satisfait à une équation connue
(i5) Û»-HMiî» + M,Û + M, = o.
En identifiant les équations (i4) et (i5), il vient
