SUR QUELQUES THÉORÉMKS DE MÉCANIQUE

Sur quelques théorèmes de Mécanique ; Par m. h. RESAL.

I. — L'accélération d'un point libre, lorsque sa direction est constante^ est proportionnelle au rapport du cube de la vitesse du mobile au rayon de courbure de sa trajectoire ( ^ ).

Nous remarquerons d'abord que la courbe est plane.

Soient, au bout du temps /, f^, p, a la vitesse du mobile m, le rayon de courbure de la trajectoire, Tangle formé par la direction de Taccélération 9 avec la normale. On a

©COS« = — j

d'où

pç'cosa

Or V cosa est la composante de la vitesse suivant la normale à la direction de l'accélération; elle est donc constante et égale à v^ cosa©, Tin-

(') Ce théorème a été énoncé pour la première fois, à ma connaissance du moins, par M. E.-T. Habich, qui Ta déduit de l'Analyse, dans une brochure intitulée Études cinématiques,

Journ. de Math, (3* nérie), tome VU. — Janvier i88i. 5

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dice o se rapportant à un instant déterminé t^. Nous avons ainsi

p^o cosao

ce qu'il fallait établir.

Remarque. — Soit c la corde du cercle osculateur déterminé par la direction de 9 ; on sait que

par suite,

21^0 cosao

Donc le rapport du rayon de courbure à la corde interceptée dans le cercle osculateur par la direction de l' accélération est proportionnel à la vitesse.

Application à la détermination du rayon de courbure de la parabole. — Considérons ime parabole décrite par un point matériel pesant m dont la masse est censée égale à l'unité et dont la vitesse initiale v^ est dirigée suivant l'horizontale tWoJ du point de départ m^. Soient m^x la verticale de /w©, F le foyer et ip le paramètre de la courbe. On a

(3) ^^--- i'^x = 2px,

Le principe des forces vives donne

f^^ — s^l -f- 2gX = g{p r 2X).

De l'équation (2) on déduit immédiatement la formule connue