THÉORIE DES CONTACTS

L'étude que nous venons de faire des points singuliers va enfin nous permettre d'aborder la question des formes géométriques que peuvent affecter les caractéristiques siir toute la surface de la sphère.

Une première considération, d'une importance capitale, est celle du nombre des points ou un arc ou un cycle donné touchent une caractéristique, c'est-à-dire du nombre des contacts de cet arc ou de ce cycle.

Le nombre des contacts d'un arc ou d'un cycle algébriques est toujours fini.

Remarques préliminaires , — On a vu qu'une courbe algébrique sans point double se compose d'un certain nombre de cycles ; de même

Journ, de Math, (3« série), tome VII. — Décembrr 1881. 52

4lO H. POINCàRE.

line courbe algébrique à points doubles se compose d'un certain nombre de cycles et de polycycles. Or, ces polycycles eux-mêmes peuvent être considérés comme décomposables en un certain nombre de cycles se touchant aux points doubles et présentant en ces points des points anguleux.

Ainsi la courbe

se compose de deux polycycles diamétralement opposés ; chacun de ces polycycles se compose de deux cycles qui se touchent au point

a?=rj=o

et y présentent un point anguleux tel que Taxe des deux tangentes soit de 90®.

On a vu qu'une courbe algébrique C coupe un cycle algébrique quelconque en un nombre fini et pair de points. Ceci mérite quelques explications.

Si, en un point donné, la courbe algébrique C passe de l'intérieur du cycle à l'extérieur, ou réciproquement, nous dirons queU courbe traverse le cycle et ce point comptera pour un seul point d'intersection ou pour un nombre impairde points d'intersection confondus. Si, au contraire, dans le voisinage d'un point donné commun à la courbe C et au cycle, la courbe C reste tout entière extérieure ou intérieure au cycle, nous dirons que la courbe touche le cycle, et ce point comptera pour un nombre /)a/r de points d'intersection confondus.

Supposons, par exemple, que le cycle donné présente un point anguleux à Forigine et que son équation s'écrive

o = Cr — '^^) (7 — fA^) + ^3»

5j étant un polynôme ne contenant que des termes de degré 3 et au-dessus.

Supposons qu'un point infiniment voisin de l'origine soit à l'intérieur du cycle donné toutes les fois que

a? > o, (7 — Ix) ( V — [ix) > o,

COURBES DEFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. f{l1

et à Textérieur si

a?<o ou si .a?>o, (7 — )ir)(y — /jl^) < o.

Soit

o =y— map -hô.2,

l'équation de la courbe C, où 62 représente un polynôme, ne contenant que des termes de degré 2 et au-dessus.

Il est aisé de voir que la courbe C traverse le cycle toutes les fois que

(m-X)(m— fx)>o

et le touche dans le cas contraire.

Théorème VI. — Le nombre des contacts d'un cjrcle algébrique qui n'a pas de point anguleux^ qui na pas de contact d'ordre supérieur avec une caractéristique et qui ne passe par aucun point singulier est toujours fini et pair.

En effet, soit

Téquation de ce cycle, on trouvera ses contacts en cherchant son intersection avec la courbe

f dx dy

Cette courbe étant algébrique, ses intersections avec le cycle donné sont en nombre pair, si Ton a soin de compter pour deux intersections les points où la courbe touche le cycle. Or, en ces points, le cycle aurait, avec une caractéristique, un contact d'ordre pair, ce que nous n'avons pas supposé. Donc, il n'y a nulle part phisieurs points d'intersection confondus des courbes

Donc, le nombre des contacts est pair. c. q. f. d.

4l2 H. POIJNGARÉ.

Remarque I. — Le théorème est encore vrai quand même le cycle donné a des contacts d'ordre supérieur avec une caractéristique; à la condition toutefois que l'on ait soin de compter im contact d'ordre n pour n contacts.

Remarque IL — Supposons maintenant que le cycle algébrique offre un point anguleux. Supposons, pour fixer les idées, que ce point anguleux soit à l'origine, que l'équation du cycle s'écrive encore

er que l'inJtérieur du cycle soit défini par les conditions

Le polynôme ç s'écrit alors, siXo et Yp sont les valeurs de X et de Y pour a: =: ^ = o,

9 = Xo[2Va?-(X-hfx)r] -hYo[2j-(X4-fi)a?] -hô;,

où Q\^ est un polynôme ne contenant que des termes du degré 2 et au-dessus.

Le coefficient ahgulaire de la tangente à l'origine à la courbe ç = o est alors

Yq (^ -h p.) — QXpXfA 2Y0— Xo(X4-îi) '

et la condition pour que la courbe ç = o traverse le cycle, c'est que

a = [Yo (X -h fx) - 2X,)./jl] ~ \ [2 Yo - Xo)>. -h fi)], p = [Yo (X -h fx) - 2X0 V] - V- [2 Yo - Xo (:k -f- II)]

soient de même signe.

Or, on peut écrire, en simplifiant,

a=(Yo~XoX)(fx-.X), /3 = (Yo-Xofi)(X-|UL);

ce qui prouve que la condition pour que a et /3 soient de même signe,

COURBES DÉFINIES PAR UlfE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 4^^

c'est que Yo— XoXet Yo— Xofx soient de signe contraire, ou, en d'autres termes, que la condition pour que la courbe ç = o traverse le cycle donné est que la caractéristique qui passe par l'origine ne la traverse pas.

Donc, un point anguleux comptera pour un contact, si la caractéristique qui passe en ce point ne traverse pas le cycle, et pour deux contacts dans le cas contraire.

Remarque IIL — Supposons maintenant que, le cycle passant toujours par l'origine, l'origine soit un point singulier. Soient

O2 et 6\ étant des polynômes dont les termes sont de degré 2 et audessus.

On aura

La courbe 9 = passe par l'origine.

Si elle n'est pas tangente à la courbe F = o, le point singulier devra compter pour un contact, mais si elle a avec le cycle F == o un contact du n'^"*® ordre, le point singulier devra com|)ter pour n -h 1 contacts.

Or, pour qu'elle soit tangente à F = o, il faut et il suffît que, si

d? . rfP

c'est-à-dire qu'il faut et il suffit que le cycle F = o soit tangent à une caractéristique, puisque le coefficient angulaire m de la tangente à une des caractéristiques passant par l'origine est donné par l'équation

4l4 H. POIirGA.BÉ.

On verrait de même que le cycle F = o aura, à l'origine, un contact du n'^™* ordre avec la courbe y = o, s'il a un contact du n*^"* ordi'e avec une des caractéristiques passant par l'origine.

Donc, un point singulier par où passe le cycle donné, mais qui n'est pas un point anguleux, comptera pour n -h i contacts si le cycle a, eu ce point, un contact du n^^'^^ ordre avec une caractéristique.

Remarque IV. — Supposons enfin que l'origine soit un point singulier et un point anguleux du cycle donné.

Soient encore

F = (;^-Xa-)-(r-fJLa?)-+-e3, et à l'intérieur du cycle

ar > o, (7 — \x) {jr — ^ix) > o.

On aura

fo = [oLx -h jSjr) [aXjxo? — (X -h ii)y] -4-(a'^-f-/3»[27-(X-f-fJL)a?] -+-6;,

0\ étant un polynôme ne contenant que des termes du degré 3 et audessus.

La courbe 9 = présente donc à l'origine deux branches de coiui)e. L'origine comptera donc pour un nombre pair de contacts si ces deux branches touchent toutes deux ou traversent toutes deux le cycle, pour un nombre impair dans le cas contraire; c'est-à-dire que, pour que l'origine doive être comptée pour un nombre impair de contacts, il faut et il suffît que les deux tangentes à l'origine à la courbe 9 = ne soient pas comprises toutes deux dans l'un des angles formés par les tangentes à l'origine à la courbe F = o, c'est-à-dire qu'il faut et qu'il suffit que

- >[2(a'-4- /30.) - (a -f. |3x) (^ -f. |ut)]

p=[(a'-4-^»(X-f-f.)-2Xft(«4-^,/.)]

-.fx[2(a'-i-|3»-(c.'-f-|3>)(X^-fx)]

soient de signe contraire.

COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. /il.")

Or, on peut écrire, en simplifiant,

a = [(«' + IS'X) - X(a -t- ^-k)] [\ -iJ.> -*=[(«'+W-f*(«+^f*)](>>-f*)

Si le point singulier est un foyer, l'équation

(a' 4- jSt'jr) — a; (a 4- ^x) = o

n'a que des racines imaginaires. Son premier membre est donc tonjours de même signe, a etb sont de signe contraire et le point singulier compte pour un nombre impair de contacts.

Si le point singulier est un col ou un nœud, il compte soit pour un nombre pair, soit pour un nombre impair de contacts, selon la position des tangentes à l'origine au cycle F = o.

Résumé. — Le nombre des contacts d'un cycle algébrique est toujours pair à la condition :

I** Que l'on compte un contact du n*^™* ordre pour n contacts ;

2® Qu'un point anguleux du cycle donné soit considéré comme un ou comme deux contacts, selon que la caractéristique qui y passe y touche ou y traverse le cycle ;

3*^ Qu'un point singulier compte pour n 4- i contacts si le cycle a, en ce point, un contact du w'^™* ordre avec une caractéristique ;

4** Qu'un foyer qui est un point anguleux du cycle donné soit compté poiir un contaôtj, ;

5** Qu'un col ou un nœud qui est un point anguleux du cycle donné soit compté pour un ou pour deux contacts, selon la position des tangentes au cycle au point anguleux.

Corollaire. — Si deux arcs algébriques ont mêmes extrémités, le nombre de leurs contacts peut être de même parité ou de parité différente si les deux extrémités ne sont pas deux foyers ; il est toujours de même parité si les deux extrémités sont deux foyers.

Théorème VII. — 5/, entre deux points de la sphère^ on peut mener

\l(\ H. POINCARE.

un CLTc quelconque sans contact, on peut aussi mener entre ces deux points un arc algébrique sans contact.

En effet, soient

les équations de Tare donné, où / est un paramètre convenablement choisi. On aura pu choisir le paramètre de telle sorte que les extrémités de Tare correspondent à

/ = O, f = TT.

Si Tare donné ne coupe pas Téquateur, œ ely restent finis quant / varie de o à ;r; ce sont donc des fonctions finies et continues de / entre ces limites, et il en est de même de leurs dérivées.

Soient a?,, y^ et a;^, y^ les valeurs de a? et de y pour / = o et pour

t = n\ les fonctions

X — X. cos x^ sm ->

j~7, cosi-ji^in^

sont nulles pour / = o et pour / = ;:.

Les fonctions a? et j peuvent donc se développer en séries convergentes en sin m/, de la manière suivante,

mas»

Va. t . t

x=^yAm smmt -+- x^ cos — y- x^sm-i

m = t /II— «

r = ^ B,„ sinmt -hy, cos ^ -hyt sin -'; et Ton aura de même en séries convergentes

msoo

-77= y mA^cosmt ^sm-H — ^cos-,

at ^ a a a a

-^=\ mB;„cos/w/ — ^sin- H-'— COS-at j^ '* a a a a

COUWBES DÉFINIES PAR UNB ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. 41/

Si Ton substitue ces valeurs à la place de .r, v ^» -^ dans l'expression

^ dy ^ dx ^Ti- ^ dï'

on aura une fonction de / qui, quand / variera de o à ;r, ne s'annulera pas et dont le carré restera p.ar conséquent toujours plus grand qu'une quantité donnée t^.

Soient

AjjL= > A;„sinm< -hx, cos - -h o^jsin-î

s\ï\mt -4- y, cos - 4- Vj sm - •

L'arc

X — Aji., 'y — liji

est algébrique et a les mêmes extrémités que l'arc donné. * De plus, on aura toujours pu prendre ^ assez grand pour que

A|^, IV» "^^ ~Jf diffèrent aussi peu que l'on veut de ç7 , 6(/j,

^ j -^> ou bien pour que X -^^ —Y -^, où x et j sont remplacés dans

X et Y par A^^ et Bj^, diffère aussi peu que l'on veut de X ~ — Y -^, oii X et y sont remplacés dans X et Y par rp et ^\ par exemple, pour que cette expression diffère de X ^ — Y •— de moins de s, pour que l'on ait toujours

Dans ce cas. Tare

dB^ Y^Ap<

sera à la fois algébrique et sans contact. c q. f. d.

Si l'arc donné coupait l'équatenr, mais ne coupait pas le grand cercle

ux-h.^y-h y = o,

Journ. de Math, (3« série), tome VII. — Décembiie i88i.

4l8 H. POINGARé.

on ferait un changement de variables en posant

Ij: -4- ? J H- Y ^ aj? -h ?/ -h Y

et le théorème se démontrerait de la même manière.

Si l'arc donné coupait tous les grands cercles de la sphère, on le décomposerait en un certain nombre d'arcs secondaires dont aucun ne couperait tous les grands cercles de la sphère, et le théorème démontré successivement pour chacun de ces arcs secondaires le serait également pour Tare total.

Théorème VIII. — Si AB est un arc algébrique sans contact^ si kk^ vt BB| sont deux arcs de caractéristiques ^ on peut mener de k^ àM^ un arc sans contact.

En effet, soient

x = fD{t), y=if{t)

les équations de Tare AB où y et ^ sont des fonctions continues de /, n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de /. Soient a et ]3 les valeiu*s de / qui correspondent aux points A et B.

A chaque valeur de t correspond une caractéristique, et une seule, de telle sorte qu'à a et |3 correspondent les caractéristiques AA, etBB|. Soient /q, /|, /a, . . . les valeurs de /auxquelles correspondent des caractéristiques qui vont passer par un col.

Considérons la caravtéristique qui correspond à une valeur donnée de t\ soit 5 Tare de cette caractéristique compté à partir du |)oint où elle coupe Tare AB. I^es deux valeurs de 5 et de / déterminent un point de la sphère et forment pour ainsi dire un nouveau système de coordonnées. Soient

/ — a, 5 = 7 les coordonnées de A|,

t — [lt, s =^ â les ( oordonnées de B, ,

/ — /^j, s = Sq les coordonnées des cols, t — t,,s = s

COURBES DÉFINIES PAR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. /fH)

Une équation

OÙ F est une fonction continue de t, qui ne prend qu'une valeur pour chaque valeur de /, représente un arc de courbe continu et sans contact, toutes les fois que / n'est égal ni à t^, ni à /| , ... et si / = /07 P^^ exemple, toutes les fois que * < ^o.

Or, on pourra toujours choisir F de telle sorte que,

pour/=a, F = Y, pour / = /3, F = J,

pour^ = /o» F<Jo»

pour/ = <,, F<5,,

c'est-à-dire que l'on peut mener de A, à B, un arc sans contact et par conséquent un arc algébrique sans contact. c. q. f. d.

Théorème IX. -- Si AB et A,B, {fig. 5) sont deux caractéristiques, si AA, et BB| sont deux arcs algébriques qui ne coupent AB et A|B< en aucun autre point que A, B, A, ou B,, les nombres des contacts de A A, et de BB, sont de même parité.

Soit A' un point assez voisin de A pour que l'arc AA' soit sans contact

Fig. 5.

et que la caractéristique A'B' aille couper BB| en un point B' tel que BB' soit sans contact.

4 20 H. POINCARÊ.

Supposons de même que k\B\ soit un arc caractéristique, et que A, A'^ , n,B', soient sans contact.

On pourra mener, d'après le théorème précédent, des arcs algébriques AB',A',B< sans cçKitact.

Le nombre des contacts du cycles algébrique

ab'b,a;a

doit être.|)air. *^

Or, les caractéristiques AB, A|B| touchent le cycle en A et en B, ; les caractéristiques A'B', et A'^B', le traversent en B' et en A'^. Donc les quatre points anguleux comptent pour deux contacts. Donc on a

nombre des contacts AB' -+- nombre des contacts B'B, -l-nombre des contacts B^A\ 4- nombre des contacts A, A^eo (mod. 2),

ou, ce qui revient au même,

nombre des contacts A A, H- nombre des contacts BB< ^o (mod. 2;.

Théorème X. — Si un arc de caractéristi</ue qui ne passe par aucun point singulier est souS'tendu par un arc de courbe, le nombre des conlacls de cet arc de courbe est impair.

En effet, soit F = o l'équation de Tare sous-tendant. Considérons la fonction F; cette fonction passe, par exemple, du positif au négatif quand le point (a;, y), décrivant la caractéristique, passe par Tune des extrémités de l'arc sous-tendant, et du négatif au positif quand il passe par l'autre extrémité de cet arc. C'est dire que, quand le point (a?, j) décrit l'arc donné de caractéristique, la fonction F passe par \u\ nombre impair de maxima et de minima.

Or, ces maxima et ces minima sont donnés par l'équation

c'est dire que l'aix: de caractéristique coupe en un nombre impair de points la courbe ^ = o.

GOORBES DÉFINIES PAU UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE. /f^I

Or, cette courbe, qui est algébrique, coupe en un nombre pair de points le cycle H formé par Tare de caractéristique et l'arc sous-tendant; donc elle coupe Tare sous-tendant en un nombre im|)air de points.

Donc le nombre des contacts de cet arc est impair.

Remarque L — Si l'arc de caractéristique passe par un col, comment faudra-il modifier le théorème?

Le col appartient évidemment à la courbe ç) = o, mais il n'est un maximum ou un minimum de F qu'à la condition que l'arc de caractéristique présente en ce point un point anguleux.

En effet, supposons d'abord qu'il n'y ait pas de point anguleux Les courbes F === o et 9 = o traverseront toutes deux, en général, le cycle H, c'est-à-dire que le col sera un point simple d'intersection du cycle et de f = o, sans correspondre à un maximum ou à un minimum de F.

Si, au contraire, il y a un point anguleux, l'une des courbes y = o, F = o traversera le cycle H, pendant que l'autre le touchera, de telle sorte que, ou bien le col sera un point simple d'intersection de H et de <p = o, et en même temps un maximum de F, ou bien il sera un point double de H et de y = o sans être un maximum de F.

Donc, si l'arc de caractéristique passe par un col et n'y a pas de point anguleux, le nombre des contacts de l'arc sous-tendant est pair.

Si l'arc de caractéristique passe par un col et y a un point anguleux, le nombre de ces contacts est impair.

Remarque IL — On démontrerait de même que, si un arc de caractéristique ne passe par aucun point singulier, tout arc de courbe qui le sur-tend a un nombre de contacts pair.

Contacts des systèmes topo graphiques. — Si l'on considère un système topographique algébrique, les contacts de ce système formeront une courbe algébrique.

On distinguera les contacts intérieurs et extérieurs du système topographique, selon que dans le voisinage de ces contacts la caractéristique qui y passe reste intérieure ou extérieure au cycle qu'elle touche, parmi ceux du système topographique.

/i2'2 H. PJINCARÉ.' — COUUBKS DÉFINIES, ETC.

La courbe des contacts sera donc divisée en un certain nombre d'arcs qui seront les arcs des contacts intérieurs et ceux des contacts extérieurs

Ces arcs seront séparés :

i" Par les points singuliers;

2" Par les points où la. courbe des contacts touche un des cycles du système topog^raphique.