X -+-Xa?Z, Y'-f-X/Z

où X est une constante et Z un polynôme de même degré que X et Y. Nous allons donc supposer que l'on a identiquement

où Z est une fonction homogène en .r et j.

Dans ce cas, Véquateur n'est plus une caractéristique y et par conséquent les points singuliers de l'équateur peuvent être tout aussi bien des nœuds, des foyers et des cols.

La règle qui permettait dans le cas précédent de trouver l'indice de l'équateur se trouve en défaut; d'ailleurs, si l'équateur contient des points singuliers, les courbes

se coupent sur ce grand cercle, qui n'a par conséquent plus, à proprement parler, d'indice.

Supposons donc que Téquateur ne contienne pas de point singulier, et cherchons quel est Tindice de ce grand cercle.

Nous trouverons que Ton a le long de Téquateur

c'est-à-dire que l'indice de l'équateur sera égal à — i, et si l'on remarque qu'il est déjà égal à

2N, 2F, 2C étant le nombre des nœuds, des foyers et des cols, on reconnaîtra que Ton a

c'est-à-dire que le théorème que l'on avait démontré dans le cas précédent est encore vrai.

Supposons maintenant que ré(|uation contienne des points singuliers, à savoir 2N' nœuds, 2F' foyers et 2C' cols, et voyons comment on pourra tourner la difficidté.

Soit aoc -h ^y -\-y= o un grand cercle qui ne pa.sse par aucun point singulier. Posons

"~ ax- -h 'fiy -h -p "" a J7 -h 'fiy -+- 7 '

Téquation différentielle devient

où X' et Y' sont des polynômes entiers en x' et en y\

On aura pu choisir le cercle ax -h ^y -h y =^ o, de telle façon que : 1° Aucune réduction ne s'opérant, X' et Y' soient de même degré ; 2^ Que le grand cercle ax -hP/-I-7 = o ne soit pas une caractéris-

tique, c'est-à-dire que les termes du degré le plus élevé dey X' — cc'\' se réduisent.

Si a, h est un point singulier de l'équation

dx dy

sera aussi un point singulier de l'équation

dx^ dy X' ~" Y '

Si a, b est un nœud, un col ou un foyer, a\ h' sera un nœud, un col ou un foyer, de sorte que les nombres des nœuds, des cols et des foyers sont 2(N -h N'), 2(C -h C), 2(F + F') et que, se trouvant ramené au cas où Téquateur ne contenait pas de point singulier, on peut écrire