Tome XIll — Janvier
les géomètres ont fait un si grand usage dans ces derniers temps, se sont présentées, pour la première fois, dans un problème de mécanique. Enfin M. Jacobi a pris cette question des deux centres fixes pour un des exemples de l'application de son principe du dernier multiplicateur [*], et M. Liouville s en est occupé dernièrement aussi dans une étude générale sur différents cas où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer. M. Liouville a donné deux méthodes [**J, qui l'une et l'autre s'appliquent à notre problème. L'une est fondée sur la considération des équations aux différentielles partielles; l'autre, qui conduit à des résultats moins étendus, est peut-être plus élémentaire : mais M. Liouville ne l'a développée que pour le cas du plan , en observant toutefois qu^elle peut aussi s'étendre au cas général de l'espace. C'est cette extension de la méthode de M. Liouville que nous nous proposons de présenter ici.
su-
La position d'un point sur un plan, ou plus généralement sur une surface quelconque, est déterminée par deux coordonnées a et j3, qui sont des fonctions prises à volonté, de ses coordonnées rectangulaires. Tout déplacement infiniment petit fis du point sur la surface s'exprimera par les accroissements dec , d^ de ces coordonnées, et son carré .aura la forme
ds^ = \H(x} H- Vd^\
toutes les fois que les équations
a = constante, /3 = constante
seront celles de deux systèmes de lignes orthogonales. Cette condition , qui est nécessaire, est également suffisante; en sorte qu'il existera pour chaque surface une infinité de systèmes de coordonnées, dans lesquels ds^ aura la forme précédente.
Si maintenant on considère un point situé d'une manière quelconque dans l'espace , et que l'on fasse passer un plan par ce point et par une
[*] Journal de Crellc y tomes XX VII et XXIX.
[**] Journal de Mathématiques pures et appliquées ^ tomes XI et XII.
droite fixe, on pourra déterminer la position du point dans ce plan , par deux coordonnées a, |3 du genre de celles qu'on vient d'indiquer, et l'on achèvera de fixer sa position dans l'espace à l'aide d'une troisième coordonnée y, dont les dififérentes valeurs correspondront aux différentes positions que peut prendre le plan que nous considérons autour de l'axe qu'il contient. Par exemple, on pourra prendre pour y l'angle que fait ce plan avec un plan fixe mené par l'axe fixe.
Cela posé, si ds désigne le déplacement infiniment petit du point correspondant aux accroissements da^ d^^dy de ses trois coordonnées, ds' le déplacement obtenu en ne faisant varier que a et /3 , et enfin X" le carré de la distance du point à l'axe fixe, on aura évidemment
ds"" = ds'^ -h rdf, et, par conséquent ,
ds^ = Ua? ^ XW/3« -^ rdf.
Dans cette formule, les quantités X, X', X" ne renferment que les deux coordonnées a et /3, qui peuvent être choisies d'une multitude de manières différentes ; quant à la coordonnée y, sa signification géométrique est parfaitement déterminée par ce qui précède. Au reste, la forme de l'expression de ds^ resterait la même, si Ton prenait pour oL^^^y les paramètres de trois systèmes quelconques de surfaces orthogonales; alors X, X', X" pourraient être des fonctions des trois coordonnées a, /3, y. Mais , loin d'avoir besoin de ce degré de généralité, nous nous restreindrons encore à un cas plus particulier, celui où X' = X, que M. Liouville a considéré dans le cas du plan. Ainsi, désormais nous prendrons
ds^ = X(rfa* -h d^^) H- rdf, X et X" étant , nous le répétons, indépendants de 7.
Considérons maintenant le mouvement d'un point matériel détennine par les trois coordonnées a, j3, y dont il vient d'être question, et supposons que le principe des forces vives ait lieu; on aura, en désignant par ds l'élément parcouru pendant le temps dt^ par U la fonr>
ao JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
tion des forces accélératrices, et par C une constante arbitraire,
lis
OU
Cette équation, qu'il est plus simple et plus convenable de former directement , se déduit aussi des équations du mouvement, qui , d'après les principes de la Mécanique analytique ^ et en se rappelant que X et X" ne contiennent pas y, sont :
2 rfa ///'"*" AT'
dt '^ 7.doL \dt* "*" dt* ]
rff
W { Ji — l^ (^ lê!\ L^'!t "^^^
dt ^7
Nous supposerons' que la dérivée -^ est toujours nulle, ou que U ne
dépend pas de la coordonnée y. Cela arrivera nécessairement toutes les fois que les forces agissant sur le mobile, seront toutes situées à chaque instant dans le plan déterminé par l'angle y correspondant, circonstance qui se présentera dans le problème que nous nous sommes proposé de résoudre. Ayant ainsi
«r-, = °' la dernière des équations précédentes nous donnera
dt
et, en intégrant,
(3) X'^=VB.
B désignant une constante arbitraire; alors l'équation 1 1) des forces
PURES ET APPLIQUÉES. ai
vives donnera
dt^ dO
En vertu des équations (3) et (4)^ les deux premières des équations (r^) deviendront
Ces équations, respectivement multipliées par a Xda , a Xr/|3 , prennent ia forme très-simple
dont Tune résulte de l'autre en vertu de Téquation des forces vives, ou plutôt en vertu des équations (3) et (4).
Elles ne diffèrent de celles qui sont relatives au plan, que par le terme
B —, qui disparaîtrait dans ce cas, et qui n'apporte d'ailleurs aucune
complication.
Les équations (5) pourront évidemment être intégrées une fois si leurs seconds membres ne contiennent respectivement, l'un que a, l'autre que j3; c'est-à-dire si l'on a
(6) aXU + 2CX-B^^=/(a)-.F(/3),
les fonctions /(a) et F ( j3) ne contenant la première que a, la seconde que j3 : alors les équations (5) deviennent
ai JOURNAL DE MATHÉMATIQUES
d'où, par l'intégration,
Nous mettons la même constante A dans ces deux équations, afin que l'équation (4) soit satisfaite.
