S IV

La double intégration qui vient d être eflectuée repose sur l'hypothèse que nous avons faite, et en vertu de laquelle la quantité

9.XU-f- 2CX — B r;; a la foHTie f[oi) — F(]3). Il pourra arriver, dans

certains problèmes, que cette condition ne soit pas remplie généralement, mais qu'elle puisse cependant être satisfaite pour certaines valeurs particulières attribuées aux constantes arbitraires B et C ; ce qui se traduira par des relations équivalentes entre les circonstances initiales du mouvement: et quand ces relations auront lieu , on pourra toujours appliquer la méthode précédente. Mais celte méthode est surtout intéressante dans le cas où la condition exprimée par Téquation (6) a lieu indépendamment des valeurs attribuées aux constantes B et C; car on pourra toujours, comme on va voir, résoudre complètement le problème correspondant, et cela pour un état initial quelconque. Il faut alors que chaque terme du premier membre de l'équation (6) soit de même forme que le second membre.

Soit donc

X =9 {a)-$(i5), (8, ^XU=,|,(«)-y(P),

i= cr(a)-n(^),-

d'où résultera

f(a) = at^; (a) + aCf (a) - Bu (a),

et voyons comment on pourra achever, dans ce cas , l'intégration des équations du mouvement.

Les équations (7) donnent immédiatement , par la division ,

doL dfi

équation différentielle où les variables sont séparées , et qui sera l'une de celles de la trajectoire du mobile, ou, si Ton veut, l'équation de la trajectoire du point dans le plan mobile.

Pour avoir la seconde équation de la trajectoire, nous combinerons Tune quelconque des deux équations (7), la première par exemple, avec réquation (3); on obtient ainsi

d OÙ , en mettant au lieu de r^ sa valeur écrite précédemment , et, à cause de l'équation (lo) ,

Cette équation , où les variables sont séparées , est la deuxième equation: de la trajectoire du mobile. Il ne reste donc plus que la valeur du temps à déterminer.

On pourra, de Tune quelconque des équations "(7) , tirer la valeur de rélément du temps; la première, par exemple, donne

dt= "^

V/W-a' ou, en mettant au lieu de X, s» valeur

vO^)-A et, en vertu de l'équation (lo),

^m^t^ VA-F(p)'

équation où les variables sont encore séparées. On voit, par les équations (lo), (i i) et (la) , que le problème se trouve ramené aux quadratures. La forme de ces équations mérite d'être remarquée ; on voit, par exemple, que l'expression du temps ne dépend que des coordonnées a et j3, et qu'on pourra la déterminer sans connaître la coordonnée 7. En posant

= /v'a ^Ka) H- aC (p (a) — Bw (a) — A . da

-h/v-aY(P)-aC*(/3) + Bn(^)-l-A.rf^-4-7VB,

on donne à ces équations une forme remarquable.

En effet, les intégrales des équations (10), (11) et (12) pourront s'écrire comme il suit :

A', B' et /o désignant trois nouvelles constantes arbitraires. C'est sous cette forme qu'elles se présentent d'elles-mêmes, quand on fait usage de la méthode d'intégration fondée sur l'emploi d'une équation aux différentielles partielles dont nous avons parlé au § I.