Tome Xm. — Jantur i

et, par suite,

en sorte que les quantités X et ^77 ont bien la forme exigée au § VI , et

que Ton pourra appliquer la méthode que nous avons indiquée , toutes les fois que la fonction des forces U aura la forme

M. Liotiville a démontré que le système des coordonnées. elliptiques est le seul dans lequel la quantité X a la forme exigée; il est remarquable que, dans le cas plus général de l'espace, la

quantité p ait auasi la même forme , ce qui nous a permis de faire cette extension de la méthode.

Nous pourrons donc poser

en sorte que les équations (i 4) deviendront

dfi dv

V^(P' — ^')W(f^H-2Cpi»— A] — BA» "~ V(v' — b') [a^'W -h ?.Cv' — A] — Bb' '^

(l5) l^y^h^.,^ ^^ f\^fi ^'

dt:

pt' d^ v' dv

V(p»— ^»y[2+{pi) -h 2Cf*' — A] — B^» )/{v' — b') [2 V (v) -h 2Cv» — A] — B^^

et résoudront tout problème de mouvement d'un point, dans lequel la fonction des forces sera de la forme

(,6) u = iM^).

Il est presque superflu d'ajouter ici que , pour obtenir tous les points du plan mobile, il est nécessaire de donner aux quantités v, V** — v* des valeurs tantôt positives , tantôt négatives. On sait, du reste, que

les géomètres font disparaître cette difficulté relative aux signes en introduisant un angle d à la place de v , savoir, en posant

V = b cos 9 et v6* — v* = ft sin 6.

Nous allons actuellement faire l'application de la méthode précédente au problème du mouvement d'un point matériel attiré par deux centres fixes en raison inverse du carré des distances, et nous ajouterons même, avec Lagrange , un troisième centre placé au milieu de la droite qui joint les deux premiers, et doué d'une action proporrionnelle à la distance.

s VIII.

Prenons pour les trois centres fixes les foyers et le centre des ellipses et des hyperboles orthogonales dont il vient d'etre question , et désignons par r, r' et R les rayons vecteurs issus de ces centres ; la fonction des forces aura poiur valeur

U=? + ^/-hKR%

g, g' et K désignant trois constantes données , que l'on peut supposer à volonté positives ou négatives.

Mais on a évidemment

r = |UL -h V, r' = JUL — V, R* = fx* -h v^ — A*; donc

U=-5- -+- -^ + K(a^-f-v^-ft^)

On voit que la fonction U a , dans ce cas, la forme exigée par notre méthode d'intégration, et, en comparant sa valeur à l'équation (16) , on pourra poser

Y(v) = (gr-g')v -YJbW -f-Kv^

d'où il suit qu'en substituant ces valeurs de ({«(ju.) et ^(v), les équations (i5) feront connaître la solution du problème qui dépendra, dans le cas général , des fonctions abéliennes. Toutefois , ces transcendantes

se réduiront à de simples fonctions elliptiques, si Ton ne considère que les deux premiers centres fixes, c'est-à-dire si Ton fait K = o. En posant^ pour abréger,

M = (|UL^- *») [aKjuL* H- 2(C -. Ki»)fx» -h a (g + g')iUL - A] ~ Bft% N = (v» - b^) [aKv* -h 2(C ^ Kb^) v^ -h a (g - g^) v - A] ~ Bft%

les équations (i5) donneront

t d^ df

(.7) ^Y = ^'^[ (,.t)/M -(:ntô7w]'

I ai — ; — — "7=-'

Celle&-ci fourniront la solution générale de notre problème, et Ton reviendrait au cas du plan en posant B = o.

Quant aux trois constantes A,B, C qui entrent dans les équations (i 7), on les déterminera aisément par les conditions initiales du mouvement. Ainsi, en désignant par jui^, Vq, yo» I^qj "^'qj Yo '^s valeurs de /jl, v, 7, Ji, j , ^ pour ^ = o, et par V la vitesse initiale dont l'expression dépend de ces six quantités , on aura

et enfin A se déterminera par l'une des équations

Mo = (K - KY l^'l No = {(il - vif v'I , OÙ Mo et No désignent ce que deviennent M et N par le changement de/jL et V en fXo et v©. Les constantes étant ainsi déterminées, on pourra écrire les équations suivantes, qui font connaître la trajectoire di¥ mobile et l'expression du temps :

US) (7 = 70+ AS'Br ^L=-*»vB f î^,

Il résulte des principes de la théorie des fonctions elliptiques, que dans une infinité de cas, et si K = o, la première des équations (i 7) adtnettra une intégrale générale algébrique, et qu'ainsi à la première des équations (18), qui est transcendante, on pourra substituer une équation algébrique qui sera celle de la trajectoire du mobile dans le plan , variable ou invariable, que détermine l'angle 7; cette équation renfermera d'ailleurs les deux quantités /x et v , qui seront par conséquent toutes deux variables. Cependant il peut arriver que , quelle que soit la valeur de K , la trajectoire du mobile soit une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers et pour centre les trois centres fixes, auquel cas son équation sera

fx = une constante, ou v = une constante.

C'est ce que nous allons maintenant expliquer.